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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 45

Uma correia contínua, movendo com velocidade U0 para cima através de um banho químico, arrasta uma película de líquido de espessura h, massa específica ρ e viscosidade μ. A gravidade tende a fazer com que o líquido desça, mas o movimento da correia impede que ele retorne completamente. Admita que o escoamento seja laminar, completamente desenvolvido, com gradiente de pressão zero e que a atmosfera não produz tensão de cisalhamento na superfície externa da película. Enuncie claramente as condições de contorno a serem satisfeitas pela velocidade em y = 0 e y = h. Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.

Passo 1

Assumindo que o escoamento seja laminar, completamente desenvolvido e permanente podemos realizar a somatória de forças abaixo:

F S x + F B x = 0

F 1 - F 2 + F B x = 0

τ + d τ d y d y 2 d x d z - τ - d τ d y d y 2 d x d z - ρ g d x d y d z = 0

Simplificando, temos que:

d τ d y = ρ g

Fazendo a integração:

d τ = ρ g d y

τ = ρ g y + c 1

Lembrando que a tensão de cisalhamento é τ = μ d u d y , portanto:

μ d u d y = ρ g y + c 1

Fazendo a integração:

d u = ρ g y μ + c 1 μ d y

u = ρ g y ² 2 μ + c 1 μ y + c 2

Aplicando as condições de contorno, podemos encontrar as constantes. Para y = 0 ,   u = U o logo:

c 2 = U o

Para y = h ,   τ = 0 , logo:

d u d y = 0               e             c 1 = - ρ g h

Substituindo na equação da velocidade, temos:

u = ρ g y ² 2 μ - ρ g h μ y + U o

u = ρ g μ y ² 2 - h y + U o

Portando, a equação para o perfil de velocidade é:

u = ρ g μ y ² 2 - h y + U o

Resposta

u = ρ g μ y ² 2 - h y + U o

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