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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 44

No Exemplo 8.3, deduzimos o perfil de velocidades para escoamento laminar sobre uma parede vertical usando um volume de controle diferencial. Em vez disso, seguindo o procedimento que nós usamos no Exemplo 5.9, deduza o perfil de velocidades partindo das equações de NavierStokes (Eqs. 5.27). Assegure-se de fazer todas as considerações necessárias para a dedução.

Passo 1

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ ² u ∂ x ² + ∂ ² u ∂ y ² + ∂ ² u ∂ z ²

ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z = ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ ² v ∂ x ² + ∂ ² v ∂ y ² + ∂ ² v ∂ z ²

ρ ∂ w ∂ t + u ∂ w ∂ x + v ∂ w ∂ y + w ∂ w ∂ z = ρ g z - ∂ p ∂ z + μ ∂ ² w ∂ x ² + ∂ ² w ∂ y ² + ∂ ² w ∂ z ²

As incógnitas marcadas foram eliminadas de acordo com as seguintes premissas:

(1) Escoamento permanente

(2) Escoamento incompressível ρ = c o n s t a n t e

(3) Sem escoamento e variação de propriedades na direção z; w = 0     e     ∂ / ∂ z = 0

(4) Escoamento totalmente desenvolvido, portanto sem variação de propriedades em x, exceto pressão. ∂ / ∂ x = 0

(5)   ∂ v / ∂ y = 0   e como v é constante e ele ser sempre zero. Assim como acontece próximo as superfícies.

(6) Não há forças de gravidade em y

Passo 2

Com o que sobrou nas equações, podemos observar que na direção y, a pressão é constante e por isso:

∂ p ∂ y = 0

Isso indica que a pressão é constate em todo o fluido e por isso ocorre o mesmo na direção x:

∂ p ∂ x = 0

Na direção x o resultado que temos é:

ρ g x + μ ∂ ² u ∂ y ² = 0

Podemos integrar essa equação: ∂ ² u = ρ g μ ∂ y ²

Integrando duas vezes temos:

u = - ρ g 2 μ y 2 + c 1 μ y + c 2

Considerando as condições de contorno do problema, temos que para y = 0 o u = 0 portanto:

c 2 = 0

Considerando as condições de contorno do problema, temos que para y = a o d u / d y = 0 portanto:

u = ρ g 2 μ y 2 + c 1 μ y

d u d y = ρ g μ y + c 1 μ = 0

Logo, temos que:

c 1 = ρ g y

O perfil de velocidades partindo das equações de NavierStokes é:

u = - ρ g 2 μ y 2 + ρ g μ y

Resposta

u = - ρ g 2 μ y 2 + ρ g μ y

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