Para a distribuição de velocidade do Problema P4.4, determine se existe uma função corrente e, se existir, encontre uma expressão para ψ ( x , y ) e faça o esboço da linha de corrente que passa pelo ponto x , y = ( L / 2 , L / 2 ) .

Passo 1

E estamos aqui de novo!

Bora lá! Essa questão remete a questão P4.4 então da uma olhadela nela lá!

Tendo u = U 0 ( 1 + x L ) e v = - U 0 y L , comecemos a testar a continuidade, assim:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = U 0 L - U 0 L = 0

Logo, continuidade está sendo satisfeita, ou seja, temos uma função corrente!

Passo 2

Assim, teremos que:

∂ ψ ∂ y = u → ψ = ∫ u d y = ∫ U 0 1 + x L d y = U 0 1 + x L y + f ( x )

De forma parecida,

∂ ψ ∂ x = - v = - U 0 y L = - U 0 y L + d f d x

Assim,

ψ = U 0 L 1 + x L y L + c o n s t a n t e

Passo 3

Vamo falar que a constante é igual a zero, pra ficar mais fácil pra gente. Assim, no ponto ( L / 2 , L / 2 ) , teremos:

ψ U 0 L = 1 + 1 2 1 2 = 3 4

Ou então,

y L = 3 4 1 + x L

Plotando o gráfico, teremos:

Resposta

ψ = U 0 L 1 + x L y L + c o n s t a n t e

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