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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 30

Para a distribuição de velocidade do Problema P4.4, determine se são satisfeitas (a) a equação da continuidade e (b) a equação de Navier-Stokes. (c) Se essa última afirmação for verdadeira, encontre a distribuição de pressão p ( x , y ) quando a pressão na origem for igual a p 0 .

Passo 1

Bora lá! Juntin fazemos rapidin!

Ta remetendo a questão P4.4, então da uma olhadinha lá também!

Tendo u = U 0 ( 1 + x L ) e v = - U 0 y L , comecemos a testar a continuidade, assim:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = U 0 L - U 0 L = 0

Logo, continuidade está sendo satisfeita!

Passo 2

Partimos pra b, bora utilizar Navier-Stokes, assim:

u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = U 0 1 + x L U 0 L + - U 0 y L 0 = 1 ρ ∂ p ∂ x + v ∇ 2 u = - 1 ρ ∂ p ∂ x

  u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y = U 0 1 + x L ( 0 ) + - U 0 y L - U 0 L = 1 ρ ∂ p ∂ y + v ∇ 2 v = - 1 ρ ∂ p ∂ y

Assim,

∂ p ∂ x = - ρ U 0 2 L   1 + x L

∂ p ∂ y = - ρ U 0 2 L y L

Chegaremos que,

∂ 2 p ∂ x ∂ y = 0

Assim, essa é uma solução exata para Navier-Stokes.

Passo 3

Ok, agora falta a c!

Integrando os dois gradientes de pressão, teremos que:

p = ∫ ∂ p ∂ x d x = - ρ U 0 2 L x + x 2 2 L + f ( y )

Tendo,

∂ p ∂ y = d f d y → f = - ρ U 0 2 L y 2 2 L + c o n s t a n t e

Assim,

p = - ρ U 0 2 L x + x 2 2 L + y 2 2 L + p 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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