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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 25

Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas estão separadas pela distância 2 h , e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais, h ; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior se move com velocidade constante U   =   6,1   m / s , qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e que o gradiente de pressão na direção do escoamento é zero.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede para determinarmos a velocidade na interface e, depois, a velocidade máxima no escoamento. Por fim, traçar um gráfico da distribuição da velocidade. Primeiro, temos:

τ + ∂ ∂ y τ ∙ d y 2 - τ - ∂ ∂ y τ ∙ ∂ y 2 b   d x + p - ∂ ∂ x p ∙ d x 2 - p - ∂ ∂ x p ∙ d x 2 b   d y = 0

Simplificando:

d τ d y = d p d x = 0 μ d 2 u d y 2 = 0

Aplicando aos fluidos 1 e 2 e integrando duas vezes, ficamos com:

u 1 = c 1 y + c 2

u 2 = c 3 y + c 4

Para as condições de contorno, temos:

y = 0 u 1 = 0 y = h u 1 = u 2 y = 2 h

u 2 = U

Logo:

y = h                               μ 1 d u 1 d y = μ 2 d u 2 d y

Com isso, temos:

0 = c 2

c 1 h + c 2 = c 3 h + c 4

U = c 3 2 h + c 4 μ 1 c 1 = μ 2 c 3  

Consequentemente, temos:

c 2 = 0

c 1 h - U = - c 3 h = - μ 1 μ 2 h c 1 c 1 = U h 1 + μ 1 μ 2

Para o fluido 1, temos:

u 1 = U h 1 + μ 1 μ 2 y

Sabemos que y = h , onde u 1 = u . Portanto:

u = 6,1 m s 1 + 1 3 u = 4,575   m / s

Resposta

u = 4,575   m / s

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