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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 24

Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas estão separadas pela distância 2h, e as duas camadas de fluidos têm a mesma espessura h = 5   m m . A viscosidade dinâmica do fluido superior é quatro vezes aquela do fluido inferior, que é μ i n f e r i o r = 0,1   N · s / m 2 . Se as placas são estacionárias e o gradiente de pressão aplicado for - 50   k P a / m , encontre a velocidade na interface. Qual é a velocidade máxima no escoamento? Trace um gráfico da distribuição de velocidade.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Este problema nos pede para determinarmos a velocidade na interface e, depois, a velocidade máxima no escoamento. Por fim, traçar um gráfico da distribuição da velocidade. Primeiro, temos:

τ + d d y τ ∙ d y 2 - τ - d d y τ ∙ d y 2 d x d z + p - d d x p ∙ d x 2 - p - d d x p ∙ d x 2 d y d z = 0

Simplificando:

d τ d y = d p d x = k  

Logo, para cada fluido, temos:

μ d 2 d y 2 u = k

Aplicando aos fluidos 1 e 2, ficamos com:

u 1 = k 2 μ 1 y 2 + c 1 y + c 2

u 2 = k 2 μ 2 y 2 + c 3 y + c 4

Para as condições de contorno, temos:

y = - h u 1 = 0

E também, para o fluido 1, temos:

y = 0 u 1 = u 2

Para o fluido 2:

  y = h

u 2 = 0

Logo:

μ 1 d u 1 d y = μ 2 d u 2 d y

Com isso, temos:

0 = k 2 μ 1 h 2 - c 1 h + c 2

Onde c 2 = c 4 . Portanto:

0 = k 2 μ 2 h 2 + c 3 h + c 4 μ 1 c 1 = μ 2 c 3

Consequentemente, temos que:

c 1 = k h 2 μ 1 ( μ 2 - μ 1 ) ( μ 2 + μ 1 )   c 2 = - k h 2 μ 2 + μ 1

c 3 = k h 2 μ 2 μ 2 - μ 1 μ 2 + μ 1 c 4 = c 2  

Substituindo:

c 1 = - 750 1 s   c 2 = 2,5   m / s

c 3 = - 187,5   1 s c 4 = 2,5   m / s

Passo 2

Agora, para as distribuições de velocidade, temos:

u 1 y = k 2 μ 1 y 2 + y h μ 2 - μ 1 μ 2 + μ 1 - k h 2 μ 2 + μ 1

Para o fluido 2:

u 2 y = k 2 μ 2 y 2 + y h μ 2 - μ 1 μ 2 + μ 1 - k h 2 μ 2 + μ 1

Passo 3

Por fim, para a velocidade em y = 0 , temos:

u = - k h 2 μ 2 + μ 1 u = 2,5   m / s

E o nosso gráfico de distribuição de velocidade vai ficar assim:

Resposta

u 1 y = k 2 μ 1 y 2 + y h μ 2 - μ 1 μ 2 + μ 1 - k h 2 μ 2 + μ 1

u 2 y = k 2 μ 2 y 2 + y h μ 2 - μ 1 μ 2 + μ 1 - k h 2 μ 2 + μ 1

u = 2,5   m / s

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