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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 56

Para o escoamento descrito no Problema 8.55 mostre que a vazão volumétrica é dada por:

Encontre uma expressão para a velocidade média. Compare o caso limite, k → 0, com a expressão correspondente para escoamento em um tubo circular.

Passo 1

Sabendo que a equação da vazão é:

Q = ∫ u d R

Q = ∫ k R u 2 π r d r

A velocidade é descrita por:

u = - R 2 4 μ ∂ p ∂ x 1 - r R 2

Substituindo na equação da vazão, temos:

Q = ∫ k R 2 π r - R 2 4 μ ∂ p ∂ x 1 - r R 2 d r

Q = - π R 2 2 μ ∂ p ∂ x ∫ k R r 1 - r R 2 d r

Integrando e simplificando temos a expressão da vazão:

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k )

Passo 2

Sabendo que a velocidade média é:

V - = Q A

A área em função de k e R pode ser calculada por:

A = ∫ d A = ∫ 2 π r d r

A = 2 π R ² ∫ k 1 r R d r / R

A = 2 π R ² 1 2 r R 2 k 1

A = π R ² ( 1 - k 2 )

Substituindo na equação, temos:

V - = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - 1 - k 2 2 ln ⁡ 1 k . 1 π R 2 1 - k 2

V - = - R 2 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 - 1 - k 2 2 ln ⁡ 1 k . 1 1 - k 2

Simplificando, temos:

V - = - R 2 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 1 - k 2 - 1 - k 2 2 ln ⁡ 1 k

Passo 3

Para o k → 0 temos que:

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x         e           V - = - R 2 8 μ ∂ p ∂ x

Ou seja, estão iguais as equações para um tubo circular, o que mostra que são equações condizentes.

Resposta

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x ( 1 - k 4 ) - 1 - k 2 2 l n ⁡ ( 1 / k )

V - = - R 2 8 μ ∂ p ∂ x 1 - k 4 1 - k 2 - 1 - k 2 2 ln ⁡ 1 k

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