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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 63

A seguinte solução:

u = u 0 1 - y 2 a 2 - z 2 b 2

pode ser usada como um modelo para o perfil de velocidade de um escoamento pressurizado completamente desenvolvido em um canal com seção transversal elíptica. O centro da elipse é ( y ,   z ) = ( 0 ,   0 ) , e o eixo maior de comprimento a e o eixo menor de comprimento b são paralelos aos eixos y e z , respectivamente. O gradiente de pressão, ∂ p / ∂ x , é constante. Baseado na equação de Navier-Stokes, determine a velocidade máxima u 0 em termos de a e b , da viscosidade μ e de ∂ p / ∂ x . Fazendo ( ρ , ϕ ) ser as coordenadas polares radial e azimutal, respectivamente, de um disco unitário ( 0 ≤   ρ ≤   1 e 0   ≤ ϕ ≤   2 π ), as coordenadas ( y ,   z ) e a velocidade u ( y ,   z ) podem ser expressas como funções de ( ρ , ϕ ):

y ρ ,   ϕ = a ρ c o s   ϕ           z ρ ,   ϕ = b ρ s e n   ϕ         u ρ ,   ϕ = u 0   ( 1 - ρ 2 )

A vazão é Q = ∫ u y ,   z d y d z = a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ u ( ρ ,   ϕ ) d ρ d ϕ . Deduza a vazão do escoamento completamente desenvolvido em um tubo elíptico. Compare a vazão em um canal de seção transversal elíptica com a = 1,5 R   e b = R e em um tubo de raio R com o mesmo gradiente de pressão.

Passo 1

Neste problema tem como objetivo a obtenção da velocidade e vazão de um escoamento. Para isso serão definidas as seguintes hipóteses:

- escoamento completamente desenvolvido;

- escoamento horizontal;

- regime permanente;

- fluido incompressível ( ρ = c t e ) ;

- escoamento bidimensional: u ( y ,   z ) ;

- a = 1,5 R ;

- b = R .

Então utilizando a equação de Navier-Stokes na direção x → :

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

ρ ∂ u ∂ t ⏞ = 0 + u ∂ u ∂ x ⏞ = 0 + v ⏞ 0 ∂ u ∂ y + w ⏞ 0 ∂ u ∂ z = ρ g x ⏞ = 0 - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 ⏞ 0 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

∂ p ∂ x = μ ∂ 2 u ∂ x 2 ⏞ 0 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

∂ p ∂ x = μ ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

Em escoamento completamente desenvolvido sabe-se que:

∂ p ∂ x = c t e

Passo 2

Conhecendo o perfil de velocidade é possível reescrever o gradiente de pressão:

∂ p ∂ x = μ ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2

∂ p ∂ x = μ ∂ 2 ∂ y 2 u 0 1 - y 2 a 2 - z 2 b 2 + ∂ 2 ∂ z 2 u 0 1 - y 2 a 2 - z 2 b 2

∂ p ∂ x = μ ∂ ∂ y u 0 - 2 y a 2 + ∂ ∂ z u 0 - 2 z b 2

∂ p ∂ x = μ - 2 u 0 a 2 - 2 u 0 b 2

Então o gradiente de pressão é dado por:

∂ p ∂ x = - 2 μ u 0 1 a 2 + 1 b 2

Passo 3

A velocidade u 0 pode ser obtida a partir da expressão de gradiente de pressão do Passo 2:

∂ p ∂ x = - 2 μ u 0 1 a 2 + 1 b 2

∂ p ∂ x = - 2 μ u 0 a 2 b 2 b 2 + a 2

Então a velocidade pode ser escrita como:

u 0 = - a 2 b 2 2 μ b 2 + a 2 ∂ p ∂ x

Passo 4

A vazão será obtida a partir da seguinte expressão:

Q = ∫ u y ,   z d y d z = a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ u ( ρ ,   ϕ ) d ρ d ϕ

Sendo:

u ρ ,   ϕ = u 0 ( 1 - ρ 2 )

Então:

Q = a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ u 0 ( 1 - ρ 2 ) d ρ d ϕ

Q = u 0 a b ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( ρ - ρ 3 ) d ρ d ϕ

Q = u 0 a b ∫ 0 2 π ρ 2 2 - ρ 4 4 1 1 d ϕ

Q = u 0 a b ∫ 0 2 π 1 2 - 1 4 ⏞ = 1 4 d ϕ

Q = u 0 a b 1 4 ϕ 0 2 π

Q = u 0 a b 2 π 4

Logo, a vazão é dada por:

Q = π a b u 0 2

Passo 5

Conhecendo a expressão de u 0 , a expressão da vazão pode ser reescrita como:

Q = π a b u 0 2

Q = - π a b 2 a 2 b 2 2 μ b 2 + a 2 ∂ p ∂ x

Q = - π a 3 b 3 4 μ b 2 + a 2 ∂ p ∂ x

Passo 6

Considerando os parâmetros a e b a vazão para um tubo de seção elíptica é dada por:

Q = - π ( 1,5 R ) 3 ( R ) 3 4 μ ( 1,5 R ) 2 + R 2 ∂ p ∂ x

Q = - π ( 1,5 R ) 3 ( R ) 3 4 μ ( 1,5 R ) 2 + R 2 ∂ p ∂ x

Fazendo:

1,5 R = 3 2 R

Q = - π ( 3 2 R ) 3 R 3 4 μ 3 2 R 2 + R 2 ∂ p ∂ x

Q = - π 27 8 R 3 R 3 4 μ 9 4 R 2 + R 2 ∂ p ∂ x

Q = - π 27 8 R 6 4 μ 9 R 2 + 4 R 2 4 ∂ p ∂ x

Q = - π 27 R 6 8 μ 13 R 2 ∂ p ∂ x

Então, a vazão para tubulação elíptica é dada por:

Q = - 27 104 π R 4 μ ∂ p ∂ x

Passo 7

Considerando tubo de mesmo raio R , tem-se que a = b = R e que a vazão para essa situação é:

Q = - π a 3 b 3 4 μ b 2 + a 2 ∂ p ∂ x

Q = - π R 3 R 3 4 μ ( R 2 + R 2 ) ∂ p ∂ x

Q = - π R 6 8 μ R 2 ∂ p ∂ x

Q = - π R 4 8 μ ∂ p ∂ x

Então, a vazão para tubulação de seção constante R vale:

Q = - 1 8 π R 4 μ ∂ p ∂ x

Resposta

- seção elíptica:

Q = - 27 104 π R 4 μ ∂ p ∂ x

- seção constante R :

Q = - 1 8 π R 4 μ ∂ p ∂ x

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