Enunciado

Duas esferas concêntricas com diâmetros de 15 cm e 25 cm ão separadas por ar a 1 atm de pressão. As temperaturas da superfície das duas superfícies aprisionando o ar são T 1 = 350   K e T 2 = 275   K , respectivamente. Determine a taxa de transferência de calor a partir da esfera interna para a esfera externa.

Passo 1

Bora continuar !!

Então galera, a taxa de transferência de calor para o espaço delimitados por duas superfícies esféricas é dado por:

Q ˙ = k e f e t i v o π D 1 D 2 L c ( T 1 - T 2 )

Até agora nós sabemos que:

D 1 = 1 5   c m = 0 , 1 5   m

D 2 = 25   c m = 0 , 25   m

T 1 = 350   K

T 2 = 275   K

O comprimento característico nós não temos, mas calcular ele é molezinha:

L c = D 2 - D 1 2 = 0 , 25   m - 0,1 5   m 2

L c = 0,0 5   m

A única coisa que nós não temos é a condutividade efetiva, mas vamos calcular!!

Passo 2

Para espaços esféricos o valor da condutividade efetiva é calculado segundo a fórmula:

k e f e t i v o = 0,74 k P r 0,861 + P r 1 4 F e s f R a 1 4

Antes de qualquer coisa vamos obter as propriedades do nitrogênio na sua temperatura média:

T m é d i a = T 1 + T 2 2 = 350   K + 275   K 2 = 312,5   K

Em graus Celsius:

T m é d i a = 312,5   K - 273 = 39,5 ° C

Com isso já conseguimos calcular o coeficiente de expansão volumétrica:

β = 1 T m é d i a = 1 312,5   K = 0,00 32   K - 1  

Para achar as propriedades nesta temperatura nós vamos ter que fazer a interpolação:

k T m é d i a = k T 1 + k T 2 - k T 1 T 2 - T 1 T m é d i a - T 1

P r T m é d i a = P r T 1 + P r T 2 - P r T 1 T 2 - T 1 T m é d i a - T 1

v T m é d i a = v T 1 + v T 2 - v T 1 T 2 - T 1 T m é d i a - T 1

Olhando na Tabela A-15:

T 1 = 35 ° C

T 2 = 40 ° C

k T 1 = 0,02 625 W m K

k T 2 = 0,02 662 W m K

P r T 1 = 0 , 7268

P r T 2 = 0,7 255

v T 1 = 1,655 × 10 - 5 m 2 s

v T 2 = 1,702 × 10 - 5 m 2 s

Substituindo:

k T m é d i a = 0,02625 W m K + 0,02662 - 0,02625 W m K 40 ° C - 35 ° C 39,5 ° C - 35 ° C = 0,02 6583   W m K

P r T m é d i a = 0,7268 + 0,7255 - 0,7268 40 ° C - 35 ° C 39,5 ° C - 35 ° C = 0,7 2563

v T m é d i a = 1,655 × 10 - 5 m 2 s + 1,702 × 10 - 5 - 1,655 × 10 - 5 m 2 s 40 ° C - 35 ° C 39,5 ° C - 35 ° C = 1,6973   × 10 - 5 m 2 s

Com isso tudo nós já conseguimos calcular o número de Rayleigh:

R a = g β T 0 - T i L c ³ v 2 P r

Substituindo:

R a = 9,81 m s 2 0,0032   K - 1 350 K - 275 K 0,0 5 3 1,6973 × 10 - 5 m 2 s 2 0,7 2563

R a = 741290,218

Passo 3

O próximo passo é calcularmos o fator geométrico para esferas concêntricas:

F e s f = L c D 1 D 2 4 D 1 - 7 5 + D 2 - 7 5 5

Substituindo os dados que já temos:

F e s f = 0,0 5   m 0,1 5   m × 0 , 25 m 4 0,1 5   m - 7 5 + 0,25   m - 7 5 5

F e s f = 0,0058998

Agora nós podemos calcular a condutividade térmica efetiva:

k e f e t i v o = 0,74 0,026583   W m K 0,72563 0,861 + 0,72563 1 4 0,0058998 × 741290,218 1 4

k e f e t i v o = 0 , 1315   W m . K

Passo 4

Agora nós temos tudo o que precisamos para calcular a transferência de calor:

Q ˙ = 0,1315   W m . K π × 0 , 1 5   m × 0 , 25   m 0,05   m 350 K - 275 K

Q ˙ = 23,24   W

E assim nós finalizamos mais umaa !!

Resposta

Q ˙ = 23,24   W

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