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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 29

A potência por unidade de área de seção transversal, E , transmitida por uma onda sonora, é uma função da velocidade da onda, V , da massa específica do meio, ρ , da amplitude da onda, r , e da frequência da onda, n . Determine, por análise dimensional, a forma geral da expressão de E em função das outras variáveis.

Passo 1

Precisamos primeiro fazer a análise dimensional, para isso a gente começa usando o Teorema Pi de Buckingham!

Separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

E V ρ r n

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa ( M ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

E V ρ r n

M t 3 L t M L 3 L 1 t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Vamos montar as equações:

Π 1 = E * ρ a * V b * r c

M t 3 * M L 3 a * L t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   1 + a = 0

L : - 3 a + b + c = 0

t : - 3 - b = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 3 c = 0

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = E * ρ a * V b * r c

Π 1 = E * ρ - 1 * V - 3 * r 0

Π 1 = E ρ V 3

Maravilha! Vamos seguir!

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = n * ρ a * V b * r c

1 t * M L 3 a * L t b * L c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a = 0

L : - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - b = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = 0 b = - 1 c = 1

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 2 = n * ρ a * V b * r c

Π 2 = n * ρ 0 * V - 1 * r 1

Π 2 = n r V

Show!

Passo 6

A forma geral do nosso E , será:

Π 1 = f Π 2

E ρ V 3 = f n r V

E = ρ V 3 f n r V

Show de bolinhas!

Resposta

E = ρ V 3 f n r V

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