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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 85

Ar que escoa a P 1 = 40   k P a , T 1 = 280   K e M a 1 = 3,6 é forçado a passar por uma curva de expansão de 15 ° . Determine o número de Mach, a pressão e temperatura do ar após a expansão.

Passo 1

Esse exercício é sobre o escoamento supersônico de ar sobre uma curva de expansão de 15 ° . Essa inclinação faz com que o escoamento de ar acima da curva se expanda através de ondas de expansão de Prandtl-Meyer.

A questão quer que a gente calcule o valor do número de Mach M a 2 , a pressão P 2 e a temperatura T 2 do ar depois de passar pelas ondas de expansão.

θ é o ângulo de virada do ar. Ou seja, θ é o ângulo que mede o quanto o ar varia de direção, quando atravessa o choque.

Para calcular P 2 e T 2 , precisamos saber quanto vale M a 2 primeiro. Por isso, o próximo passo será todo dedicado a calcular o valor do número de Mach do ar M a 2 após sua expansão.

Passo 2

Para calcular M a 2 , precisamos usar uma equação de ondas de expansão que relaciona o ângulo de virada θ com os números de Mach M a 1 e M a 2 .

θ = ν M a 2 - ν M a 1

Atenção! ν não é a viscosidade cinemática do ar, nem está multiplicando M a 1 e M a 2 ! ν é um ângulo chamado de função de Prandtl-Meyer. O valor desse ângulo ν é uma função do número de Mach M a . As equações de ν M a 1 e ν M a 2 se encontram abaixo.

ν M a 1 = k + 1 k - 1 ⋅ tg - 1 ⁡ k - 1 k + 1 ⋅ M a 1 2 - 1 - tg - 1 ⁡ M a 1 2 - 1

ν M a 2 = k + 1 k - 1 ⋅ tg - 1 ⁡ k - 1 k + 1 ⋅ M a 2 2 - 1 - tg - 1 ⁡ M a 2 2 - 1

onde k é uma constante que vale 1,4 para o ar.

As equações acima mostram que é bem complicado achar M a 2 , porque não somos capazes de isolar M a 2 na equação de ν M a 2 (colocar M a 2 de um lado e tudo o que não é M a 2 do outro) e calcular diretamente M a 2 . Mas, calma. Existe um passo a passo pra achar M a 2 .

O primeiro passo é reorganizar a equação do ângulo de virada θ .

θ = ν M a 2 - ν M a 1       ⟹       ν M a 2 = θ + ν M a 1

Nesse novo formato, deixamos os termos que têm M a 2 de um lado e os outros termos do outro.

Agora, vamos calcular quanto vale ν M a 1 , porque o exercício já nos informou quanto vale M a 1 .

ν M a 1 = 1,4 + 1 1,4 - 1 ⋅ tg - 1 ⁡ 1,4 - 1 1,4 + 1 ⋅ 3,6 2 - 1 - tg - 1 ⁡ 3,6 2 - 1

ν M a 1 = 60,09 °

Substituindo o valor de ν M a 1 e θ (valor presente na imagem) na fórmula de ν M a 2 , achamos:

ν M a 2 = θ + ν M a 1       ⟹         ν M a 2 = 15 ° + 60,09 °       ⟹     ν M a 2 = 75,09 °

k + 1 k - 1 ⋅ tg - 1 ⁡ k - 1 k + 1 ⋅ M a 2 2 - 1 - tg - 1 ⁡ M a 2 2 - 1 = 75,09 °

k + 1 k - 1 ⋅ tg - 1 ⁡ k - 1 k + 1 ⋅ M a 2 2 - 1 - tg - 1 ⁡ M a 2 2 - 1 - 75,09 ° = 0

Para achar o valor de M a 2 a partir da equação acima, vamos precisar variar M a 2 a partir do seu valor mínimo M a 2 , m í n = M a 1 = 3,6 . O valor de M a 2 correto é o valor onde a diferença entre os termos com M a 2 e 75,09 ° for igual a zero.

Esse valor de M a 2 que faz a diferença dos termos da equação acima se anularem é igual a:

M a 2 = 4,81

Atenção! Esse cálculo de M a 2 deve ser feito com a ajuda de um algoritmo e um computador! O computador vai fazer um trabalho bem mais rápido de variar M a 2 para anular a diferença dos termos e achar M a 2 .

Passo 3

Nesse passo, vamos aprender a calcular P 2 ! Para fazer isso, temos que lembrar de um fato. As ondas de expansão não fazem a entropia do ar aumentar. Isso significa que o processo de atravessar essas ondas é isentrópico (a entropia é constante) e podemos usar as equações que relacionam as pressões P 1 , P 2 e P 0 (pressão de estagnação) de escoamento isentrópico.

P 0 P 1 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2 k k - 1

P 0 P 2 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2 k k - 1

Para não precisar calcular a pressão de estagnação P 0 , vamos inverter a equação de P 0 / P 2 e multiplicá-la pela equação de P 0 / P 1 . Dessa forma, P 0 vai cortar e encontraremos uma expressão para P 2 em função da pressão que já conhecemos P 1 .

P 0 P 1 ⋅ P 2 P 0 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2 k k - 1 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2 - k k - 1

P 2 P 1 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2 k k - 1 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2 - k k - 1

P 2 = P 1 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2 k k - 1 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2 - k k - 1

Substituindo os dados na equação aima, achamos o valor de P 2 .

P 2 = 4 0 ⋅ 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 3,6 2 1,4 1,4 - 1 ⋅ 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 4,81 2 - 1,4 1,4 - 1

P 2 = 8 , 31   k P a

Passo 4

Nesse passo, vamos aprender a calcular T 2 ! Para fazer isso, podemos usar as equações que relacionam as temperaturas T 1 , T 2 e T 0 (temperatura de estagnação) de escoamento isentrópico.

T 0 T 1 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2

T 0 T 2 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2

Para não precisar calcular a temperatura de estagnação T 0 , vamos inverter a equação de T 0 / T 2 e multiplicá-la pela equação de T 0 / T 1 . Dessa forma, T 0 vai cortar e encontraremos uma expressão para T 2 em função da temperatura que já conhecemos T 1 .

T 0 T 1 ⋅ T 2 T 0 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2 - 1

T 2 T 1 = 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2 - 1

T 2 = T 1 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ 1 + k - 1 2 ⋅ M a 2 2 - 1

Substituindo os dados na equação aima, achamos o valor de T 2 .

T 2 = 28 0 ⋅ 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 3,6 2 ⋅ 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 4,81 2 - 1

T 2 = 178 , 7   K

Resposta

M a 2 = 4,81

P 2 = 8 , 31   k P a

T 2 = 178 , 7   K

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