Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 82
Ar que escoa a , e ao número de Mach é imposto a uma cunha bidimensional de semi-ângulo . Determine os dois ângulos de choque oblíquo possíveis, e , que poderiam ser formados por essa cunha. Para cada caso, calcule a pressão, temperatura e o número de Mach a jusante do choque oblíquo, compare e discuta.
Passo 1
Essa questão é sobre choque oblíquo em uma cunha bidimensional. O enunciado diz que o ar escoa com uma velocidade supersônica (número de Mach maior que 1 ) pressão e uma temperatura sobre uma cunha. Esse escoamento de ar supersônico forma uma onda de choque oblíquoa com ângulo de choque em relação ao escoamento.
No entanto, o ângulo pode ter dois valores, dependendo do número de Mach que o ar passa a ter depois de atravessar o choque. Se o número de Mach do ar depois do choque for menor que 1, o ângulo de choque tem um valor maior . Nesse caso, a pressão , a temperatura e o número de Mach do ar depois do choque terão certos valores.
é o ângulo de deflexão do ar. Ou seja, é o ângulo que mede o quanto o ar varia de direção, quando atravessa o choque.
Se o número de Mach do ar depois do choque for maior que 1, o ângulo de choque tem um valor menor . Nesse caso, a pressão , a temperatura e o número de Mach do ar depois do choque terão valores diferentes do caso, no qual .
O enunciado pede que a gente calcule primeiro quanto vale e e depois quanto valem , e para esses dois casos diferentes.
Logo, temos que iniciar a resolução achando e no próximo passo.
Passo 2
Para achar os dois valores de ângulo ( e ), precisamos de uma equação que nos dê o valor da variável do choque oblíquo que queremos a partir de termos que já temos, como e .
A fórmula abaixo faz essa conexão entre termos conhecidos e desconhecidos.
onde é uma constante que vale para o ar.
Apesar da equação de cima relacionar com termos que conhecemos ( e ), nós não somos capazes e isolar beta desses dois outros termos para fazer um cálculo direto de .
Para entender como devemos usar essa fórmula, temos que reorganizá-la.
Para achar os dois valores de a partir da equação acima, vamos precisar variar entre seu valor mínimo até seu valor máximo . Nos pontos onde a diferença entre e for igual a zero, será igual a (esse é o menor valor de que faz a diferença ser zero) ou (esse será o maior valor de que faz a diferença ser zero).
Na figura acima nós vemos que:
Esses são dois valores bem precisos para e que não foram encontrados apenas olhando o gráfico e tentando acertar o valor exato para o qual a diferença dá zero. Essa precisão foi alcançada usando um programa de computador que reconhece os dois valores de . Esse programa faz justamente o que foi dito antes: varia até encontrar os dois valroes para os quais a diferença de termos se anula.
Passo 3
Nesse passo, vamos calcular os dois valores de número de Mach para quando o choque é forte e para quando o choque é fraco . Para isso, precisamos usar a fórmula de choque oblíquo que nos dá os valores de a partir do . Essa equação se encontra abaixo.
onde e são os números de Mach perpendiculares ao choque oblíquo. A figura abaixo mostra melhor o que são esses números de Mach.
Através da imagem podemos ver que existe uma relação entre e e outra entre e . Como e dependem do ângulo , vai existir um valor de e para cada valor de . As relações são mostradas abaixo.
Logo, para vale:
Isso quer dizer que o para vale:
Para vale:
Isso quer dizer que o para vale:
Passo 4
Nesse passo, vamos calcular os dois valores da pressão do ar após o choque para quando o choque é forte e para quando o choque é fraco . Para isso, precisamos usar a fórmula de choque oblíquo que nos dá os valores de a partir do . Essa equação se encontra abaixo.
Como existem dois valores para , existirão dois valores para .
Para vale:
Para vale:
Passo 5
Nesse passo, vamos calcular os dois valores da temperatura do ar após o choque para quando o choque é forte e para quando o choque é fraco . Para isso, precisamos usar a fórmula de choque oblíquo que nos dá os valores de a partir do . Essa equação se encontra abaixo.
Como existem dois valores para , existirão dois valores para .
Para vale:
Para vale: