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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 16

O escoamento de duto convergente é modelado pelo campo de velocidade permanente e bidimensional do Problema 4-15. O campo de pressão é dado por

P = P 0 - ρ 2 ⋅ 2 ⋅ U 0 ⋅ b ⋅ x + b 2 ⋅ x 2 + y 2

onde P 0 é a pressão em x = 0 . Gere uma expressão para a taxa de variação da pressão acompanhando uma partícula de fluido.

Passo 1

A questão quer que a gente calcule a taxa de variação da pressão D P D t . A equação 4 - 14 calcula essa derivada.

D P D t = ∂ P ∂ t + V → ⋅ ∇ → ⋅ P

No entanto, os vetores do escoamento bidimensional V → e ∇ → valem:

V → = u ⋅ i → + v ⋅ j →

∇ → = ∂ ∂ x ⋅ i → + ∂ ∂ y ⋅ j →

onde u é a componente do eixo x da velocidade V → , v é a componente do eixo y da velocidade V → .

Além disso, o produto interno V → ⋅ ∇ → entre V → e ∇ → vale:

V → ⋅ ∇ → = u ⋅ i → + v ⋅ j → ⋅ ∂ ∂ x ⋅ i → + ∂ ∂ y ⋅ j →       ⟹       V → ⋅ ∇ → = u ⋅ ∂ ∂ x + v ⋅ ∂ ∂ y

Substituindo essa informação na equação de D P D t , encontramos:

D P D t = ∂ P ∂ t + u ⋅ ∂ ∂ x + v ⋅ ∂ ∂ y ⋅ P       ⟹       D P D t = ∂ P ∂ t + u ⋅ ∂ P ∂ x + v ⋅ ∂ P ∂ y

Passo 2

E como podemos calcular P sem ter as equações de u e v ?

Na realidade, nós temos essa informação! O enunciado do problema 4 - 16 diz que o campo de velocidade é igual ao campo de velocidade do problema anterior 4 - 15 . Isso significa que as informações de u e v estão presentes no enunciado da questão 4 - 15 .

u = U 0 + b ⋅ x

v = - b ⋅ y

Falta apenas calcular as derivadas parciais da pressão P .

∂ P ∂ t = ∂ ∂ t P 0 - ρ 2 ⋅ 2 ⋅ U 0 ⋅ b ⋅ x + b 2 ⋅ x 2 + y 2       ⟹       ∂ P ∂ t = 0

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x P 0 - ρ 2 ⋅ 2 ⋅ U 0 ⋅ b ⋅ x + b 2 ⋅ x 2 + y 2       ⟹       ∂ P ∂ x = - ρ 2 ⋅ 2 ⋅ U 0 ⋅ b + 2 ⋅ b 2 ⋅ x

∂ P ∂ y = ∂ ∂ y P 0 - ρ 2 ⋅ 2 ⋅ U 0 ⋅ b ⋅ x + b 2 ⋅ x 2 + y 2       ⟹       ∂ P ∂ y = - ρ ⋅ b 2 ⋅ y

Passo 3

Substituindo essas derivadas parciais na equação de D P D t , achamos:

D P D t = ∂ P ∂ t + u ⋅ ∂ P ∂ x + v ⋅ ∂ P ∂ y

D P D t = 0 + U 0 + b ⋅ x ⋅ - ρ 2 ⋅ 2 ⋅ U 0 ⋅ b + 2 ⋅ b 2 ⋅ x - b ⋅ y ⋅ - ρ ⋅ b 2 ⋅ y

D P D t = - U 0 + b ⋅ x 2 ⋅ ρ ⋅ b + ρ ⋅ b 3 ⋅ y 2

D P D t = ρ ⋅ b ⋅ b 2 ⋅ y 2 - U 0 + b ⋅ x 2

Resposta

D P D t = ρ ⋅ b ⋅ b 2 ⋅ y 2 - U 0 + b ⋅ x 2

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