Para o escoamento permanente a baixa velocidade (laminar)através de um tubo circular, como representa a Figura P1.12, a velocidade u varia com o raio e assume a forma

u = B Δ p μ ( r 0 2 - r 2 )

em que μ é a viscosidade do fluido e Δ p é a queda depressão da entrada até a saída. Quais são as dimensões da constante B ?

Passo 1

A parte esquerda da equação só tem o termo u que se refere à velocidade, como os dois lados da equação precisam ter a mesma dimensionalidade, então o lado esquerdo precisa ter a mesma dimensão que u , e com isso podemos encontrar a dimensão de B.

Vamos começar explicitando as dimensões de u :

u = L / T

Significa que u tem unidades de comprimento por tempo. O que faz sentido já que normalmente no SI a gente escreve m / s para as unidades da velocidade.

Passo 2

Agora precisamos olhar o lado direito:

B Δ p μ ( r 0 2 - r 2 )

Cada grandeza tem sua própria dimensão, vamos pegar cada uma delas e escrever suas dimensões:

μ = F ⋅ T / L 2

Δ p = F / L

r 0 2 = r 2 = L 2

Sendo que F é dimensão de força (newtons no SI).

Colocando na equação toda:

u = B Δ p μ ( r 0 2 - r 2 )

L T = B F / L F ⋅ T / L 2 L 2

Lembrando que a diferença entre r 0 e r não muda a dimensão deles, porque é uma diferença de comprimentos e isso resulta em um comprimento.

Passo 3

Agora se simplificarmos algumas coisas, vamos ficar com:

L T = B L 3 T

Para que o lado direito fique igual ao esquerdo, precisamos que B tenha dimensão de 1 / L 2 para cortar com o L 3 e sobrar só L / T :

B = L - 2

Assim que a gente consegue encontrar a dimensão que faltava saber na equação.

Resposta

B = L - 2

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