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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 21

O escoamento pistonado é uma condição idealizada de escoamento na qual a velocidade é supostamente uniforme em toda a seção transversal. Para o caso de um escoamento laminar pistonado em um tubo circular com fluxo térmico na superfície uniforme, determine a forma da distribuição de temperaturas T(r) em condições plenamente desenvolvidas e o número de Nusselt N u D .

Passo 1

E aí bonitos e bonitas, preparados?

O problema nos disse que estamos trabalhando em uma região de escoamento completamente desenvolvido podemos dizer que o gradiente de temperatura na direção axial é igual ao gradiente de temperatura:

∂ T ∂ x = ∂ T m ∂ x

Como nós estamos assumindo que as propriedades são constantes poderemos usar a equação 8.48:

u ∂ T ∂ x = α r . ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r

Ou melhor:

u ∂ T m ∂ x = α r . ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r

Rearranjando:

∂ ∂ r r ∂ T ∂ r = u α r ∂ T m ∂ x

Integrando:

∫ ∂ ∂ r r ∂ T ∂ r = ∫ u α r ∂ T m ∂ x . d r

r ∂ T ∂ r = u α ∂ T m ∂ x . r 2 2 + C 1

∂ T ∂ r = u α ∂ T m ∂ x . r 2 + C 1 r

Integrando novamente:

∫ ∂ T ∂ r = ∫ u α ∂ T m ∂ x . r 2 . d r + ∫ C 1 r . d r

T r = u α ∂ T m ∂ x . r 2 4 + C 1 . ln ⁡ r + C 2

Para achar as constantes precisamos usar as condições de contorno. E a primeira nos diz que não há variação da temperatura com o raio, quando r = 0 :

∂ T ∂ r | r = 0 = 0

Substituindo:

0 0 = u α ∂ T m ∂ x . 0 + C 1

C 1 = 0

A próxima condição é que no raio externo a temperatura é igual a temperatura na superfície:

T r 0 = T s

Substituindo:

T r 0 = T s = u α ∂ T m ∂ x . r 0 2 4 + C 2

C 2 = T s - u α ∂ T m ∂ x . r 0 2 4

Colocando nossas constantes na equação:

T r = T s + u α ∂ T m ∂ x . r 2 4 - u α ∂ T m ∂ x . r 0 2 4

T r = T s + u 4 α ∂ T m ∂ x r 2 - r 0 2

Passo 2

Mas nós também queremos o número de Nusselt N u D , certo?

Ele é calculado como:

N u D = h D k

Sabemos que o diâmetro e o coeficiente de condutividade térmica são constantes, mas e o coeficiente convectivo?

Este aí já depende do fluxo de calor para a superfície e da variação de temperatura, estão lembrados?

Não tem problema, eu já conto pra vocês:

q " s = h ( T s - T m )  

Vamos precisar achar T m ,   e para isso nós também temos uma fórmula:

T m = 2 u r o 2 ∫ 0 r o u . T r . r . d r

Substituindo T r :

T m = 2 u u r o 2 ∫ 0 r o T s + u 4 α ∂ T m ∂ x r 2 - r 0 2 . r . d r

T m = 2 r o 2 ∫ 0 r o T s r + u 4 α ∂ T m ∂ x r 3 - r r 0 2 . d r

T m = 2 r o 2 T s r o 2 2 + u 4 α ∂ T m ∂ x r 0 4 4 - r 0 4 2

T m = 2 r o 2 T s r o 2 2 - u 4 α ∂ T m ∂ x r 0 4 4

T m = T s - u r o 2 8 α ∂ T m ∂ x

Deixando esta fórmula mais parecida com o que precisamos para o coeficiente:

T s - T m = u r o 2 8 α ∂ T m ∂ x

Para o fluxo de calor também temos uma relação, se lembram?

q " s = k ∂ T ∂ r | r 0

Substituindo ∂ T ∂ r quando r = r 0 :

∂ T ∂ r = u r 0 2 α ∂ T m ∂ x

Substituindo no fluxo de calor:

q " s = k u r 0 2 α ∂ T m ∂ x

Agora sim nós conseguimos calcular o coeficiente convectivo:

h = k u r 0 2 α ∂ T m ∂ x u r o 2 8 α ∂ T m ∂ x = 4 k r 0

Para deixar o coeficiente mais próximo de Nusselt podemos usar a relação:

r 0 = D 2

Então:

h = 8 k D

8 = h D k

Olha que legal !!

Achamos o Nusselt !!

N u D = 8

Gostaram, não foi?

Resposta

T r = T s + u 4 α ∂ T m ∂ x r 2 - r 0 2

N u D = 8

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