Enunciado

Para um escoamento no plano x y , a componente x da velocidade é dada por u = A x ( y - B ) , em que A = 3,3   m - 1 ⋅ s 1 , B = 1,8   m e x e y são medidos em m . Encontre uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Temos que u = A x ( y - B ) , então:

∂ ∂ x A x y - B + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x A x y - B

Derivando:

∂ v ∂ y = - A y - B

Passo 3

Integrando:

d v = - A y - B d y

∫ d v = - A ∫ y - B d y

v x , y = - A y 2 2 - B y + f ( x )

Passo 4

Sendo:

A = 3,3   m - 1 ⋅ s 1 ;

B = 1,8   m .

Temos:

v x , y = - 3,3 y 2 2 - 1,8 y + f ( x )

v x , y = 5,94 y - 3,3 2 y 2 + f ( x )

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de x .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = 5,94 y - 3,3 2 y 2

Resposta

v x , y = 5,94 y - 3,3 2 y 2

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