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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 79

O escoamento sobre uma cabana semicilíndrica pode ser aproximado pela distribuição de velocidade do Problema 6.63 com 0 ≤ θ ≤ π . Durante uma tempestade, a velocidade do vento atinge 100 km/h; a temperatura externa é 5°C. Um barômetro dentro da cabana dá uma leitura de 720 mmHg, a pressão p ∞ é também de 720 mmHg. A cabana tem diâmetro de 6 m e comprimento de 18 m. Determine a força que tende a arrancar a cabana das suas fundações.

Passo 1

Vamos começar esse exercício aplicando a equação de Bernoulli ao longo da circunferência da barraca r = R :

p ρ + v 2 2 + g z 1 = p ∞ ρ + v ∞ 2 2 + g z 2

Como o enunciado não mencionou, podemos desconsiderar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 , e sabemos que v ∞ = U . E confome vimos no passo 1 do exercício 6.63, a velocidade v será dada por:

V → = - 2 U sen ⁡ θ e → θ

Então, substituindo os valores conhecidos na equação de Bernoulli, temos:

p ρ + - 2 U s e n   θ 2 2 = p ∞ ρ + U 2 2 → p ρ - p ∞ ρ = U 2 2 - 4 U 2 s e n 2 θ

p - p ∞ = ρ U 2 2 ( 1 - 4 s e n 2 θ )

Passo 2

A força resultante atuante na barraca pode ser encontrada integrando a distribuição de pressão p - p ∞ do passo 1 na área, então temos:

F R y = - ∫ A   p - p ∞ s e n θ   d A

E, nesse caso, podemos escrever o diferencial de área em função de θ como:

d A = L R d θ

Substituindo essa expressão na integral:

F R y = - ∫ 0 π p - p ∞ s e n θ L R d θ

Substituindo a expressão encontrada para p - p ∞ no passo 1:

F R y = - ∫ 0 π ρ U 2 2 1 - 4 s e n 2 θ s e n θ L R d θ

F R y = - ρ U 2 L R 2 ∫ 0 π 1 - 4 s e n 2 θ s e n θ d θ

F R y = - ρ U 2 L R 2 ∫ 0 π s e n θ - 4 s e n 3 θ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral do passo 2, temos:

F R y = - ρ U 2 L R 2 4 cos ⁡ θ - 4 cos 3 ⁡ θ 3 0 π + - cos ⁡ θ 0 π

Substituindo os limites de integração:

F R y = - ρ U 2 L R 2 4 cos ⁡ π - 4 cos 3 ⁡ π 3 - 4 cos ⁡ 0 - 4 cos 3 ⁡ 0 3 + - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

F R y = - ρ U 2 L R 2 - 4 + 4 3 - 4 - 4 3 + 1 - - 1

F R y = - ρ U 2 L R 2 - 8 3 - 8 3 + 2 → F R y = - ρ U 2 L R 2 - 16 3 + 2

E, finalmente, temos:

F R y = - ρ U 2 L R 2 - 10 3 → F R y = 5 ρ U 2 L R 3

Passo 4

Agora vamos usar a equação do gás ideal para encontrar a densidade do ar nas condições dadas:

ρ = p R T = S G h g ρ g Δ h R T = 13,6 999 ( 9,81 ) 0,72 287 5 + 273 → ρ = 1,2   k g / m 3

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para a equação da força encontrada no passo 3, temos:

F R y = 5 ρ U 2 L R 3 = 5 1,2 100 3,6 2 18 3 3 → F R y = 83333,3   N

Resposta

F R y = 83333,3   N

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