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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 33

Em uma experiência de mecânica dos fluidos em laboratório, um tanque de água de diâmetro D é drenado a partir de um nível inicial, h 0 . O orifício de drenagem, perfeitamente arredondado e de bordas muito lisas, tem diâmetro d . Considere que a taxa de massa através do orifício é uma função de h , D , d , g , ρ e μ , em que g é a aceleração da gravidade e ρ e μ são propriedades do fluido. Os dados medidos devem ser correlacionados na forma adimensional. Determine o número de parâmetros adimensionais resultantes. Especifique o número de parâmetros repetentes que deverão ser selecionados para determinar os parâmetros adimensionais. Explicite o parâmetro Π que contém a viscosidade.

Passo 1

Precisamos primeiro fazer a análise dimensional, para isso a gente começa usando o Teorema Pi de Buckingham e já vamos resolvendo algumas das questões do exercício...

Separando nossos parâmetros, temos n = 7 :

m h 0 D d g ρ μ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa ( M ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

m h 0 D d g ρ μ

M t L L L L t 2 M L 3 M L t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 4

Vamos montar as equações:

Π 1 = μ * ρ a * d b * g c

M L t * M L 3 a * L b * L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   1 + a = 0

L : - 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - 2 c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 3 2 c = - 1 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = μ * ρ a * d b * g c

Π 1 = μ * ρ - 1 * d - 3 2 * g - 1 2

Π 1 = μ ρ d 3 g

Olha isso! Estamos muito craques!

Passo 5

Para achar todos os parâmetros precisaríamos fazer o mesmo procedimento mais três vezes, porque vimos lá em cima que são 4 parâmetros adimensionais... massss o nosso enunciado só pediu para representar o parâmetro que contém a viscosidade! Show de bola então!

Resposta

Quantidade de parâmetros: 4

Quantidade de variáveis: 3

Parâmetro que contém a viscosidade: Π = μ ρ d 3 g

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