Sabe-­se que a capacidade de carga, W , de um mancal de deslizamento depende do diâmetro, D , do comprimento, l , da folga, c , além da velocidade angular, ω , e da viscosidade do lubrificante, μ , no mancal. Determine os parâmetros adimensionais que caracterizam este problema.

Passo 1

Para fazer o que nosso enunciado pede, vamos então trabalhar com o Teorema Pi de Buckingham!

Começando separando nossos parâmetros, temos n = 6 :

W D l c ω μ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Força ( F ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

W D l c ω μ

F L L L 1 t F t L 2

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 3

Vamos montar as equações:

Π 1 = W * D a * ω b * μ c

F * L a * 1 t b * F t L 2 c = F 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

F :   1 + c = 0

L : a - 2 c = 0

t : - b + c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 2 b = - 1 c = - 1

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = W * D a * ω b * μ c

Π 1 = W * D - 2 * ω - 1 * μ - 1

Π 1 = W D 2 ω μ

Beleza!

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = l * D a * ω b * μ c

L * L a * 1 t b * F t L 2 c = F 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

F :   c = 0

L : 1 + a - 2 c = 0

t : - b + c = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = 0 c = 0

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = l * D a * ω b * μ c

Π 2 = l * D - 1 * ω 0 * μ 0

Π 2 = l D

Show! Para achar o terceiro termo, precisamos fazer a mesma coisa, mas como sabemos que as unidades vão se repetir, podemos identificar que ele será bem parecido com o Π 2 :

Π 3 = c D

Show de bola?

Perfeito!

Resposta

Π 1 = W D 2 ω μ Π 2 = l D Π 3 = c D

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