Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 40

Expresse a equação do momento angular na forma escalar com relação a um eixo especificado de rotação para um volume de controle fixo para escoamento em regime permanente e uniforme.

Passo 1

O enunciado quer saber como chegamos na equação de momento angular com relação a um eixo H em regime permanente e uniforme para um volume de controle fixo a partir da equação geral de momento angular (equação 6-50 do livro). Em outras palavras, ele quer a fórmula escalar (não vetorial) do momento angular apara esse caso específico. Então, o primeiro passo dessa explicação deve ser mostrar a equação geral de momento angular.

∑ M → = d d t ∫ V C ρ ⋅ r → × V → ⋅ d V + ∑ s r → × m ˙ ⋅ V → - ∑ e r → × m ˙ ⋅ V →

onde:

  • ∑ M → é o somatório dos torques aplicados sobre o volume de controle;
  • ρ é a densidade do fluido;
  • r → é o braço do momento em relação ao eixo de rotação;
  • V → é a velocidade;

No próximo passo vamos deduzir quanto cada termo vale em relação a um eixo qualquer.

Passo 2

O termo d d t ∫ V C ρ ⋅ r → × V → ⋅ d V é a taxa de variação do momento angular do volume de controle d d t H → V C . No entanto, o enunciado diz que o escoamento está em regime permanente. Isso quer dizer que as taxas de variação com o tempo são nulas. Logo:

d d t H → V C = 0

O termo ∑ s r → × m ˙ ⋅ V → é o momento angular do fluido saindo do volume de controle. O produto vetorial entre o braço r → e V → é igual ao módulo da velocidade radial V multiplicado pelo braço módulo do braço ( r ) .

∑ s r → × m ˙ ⋅ V → = ∑ s r ⋅ m ˙ ⋅ V

onde

O termo ∑ e r → × m ˙ ⋅ V → é o momento angular do fluido entrando no volume de controle. O produto vetorial entre o braço r → e V → é igual ao módulo da velocidade radial V multiplicado pelo braço módulo do braço ( r ) .

∑ e r → × m ˙ ⋅ V → = ∑ e r ⋅ m ˙ ⋅ V

Por fim, o somatório dos torques ∑ M → se transforma em ∑ M para o caso escalar. M é o módulo dos torques.

Passo 3

Substituindo todos os dados na fórmula geral, encontramos a seguinte equação.

∑ M → = d d t ∫ V C ρ ⋅ r → × V → ⋅ d V + ∑ s r → × m ˙ ⋅ V → - ∑ e r → × m ˙ ⋅ V →

∑ M → = 0 + ∑ s r ⋅ m ˙ ⋅ V - ∑ e r ⋅ m ˙ ⋅ V

∑ M → = ∑ s r ⋅ m ˙ ⋅ V - ∑ e r ⋅ m ˙ ⋅ V

Resposta

∑ M → = ∑ s r ⋅ m ˙ ⋅ V - ∑ e r ⋅ m ˙ ⋅ V

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Avalie a taxa líquida de fluxo de quantidade de movimento para fora da superfície de controle do Problema 4.24.
Um fazendeiro compra 675k g de grãos, a granel, da cooperativa local. Os grãos são despejados na sua caminhonete através de um alimentador afunilado com um diâmetro de saída de 0,3m . O operador do al
Água escoa em regime permanente pelo bocal de uma mangueira de incêndio. A mangueira tem diâmetro interno de 75m m e a ponta do bocal de 25m m ; a pressão manométrica na mangueira é 510k P a e a corre
Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro. Um jato de água, de velocidade V , atinge o prato concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária
Avalie o fluxo líquido de quantidade de movimento através do canal do Problema 4.38, se a profundidade normal ao diagrama for w = 1m .