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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 75

Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro. Um jato de água, de velocidade V , atinge o prato concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar, se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V . Avalie a força para V = 5   m / s , D = 100   m m e d = 25   m m .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo nem força de campo atuando, então:

∂ ∂ t = 0

F B x = 0

Assim, F S x = R x :

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

R x = u 1 - ρ V A 1 + u 2 ρ V A 2 + u 3 ρ V A 3

Sendo:

u 1 = V ;

u 2 = V ;

u 3 = - V ⋅ s e n   θ ;

A 1 = π D 2 4 ;

A 2 = π d 2 4 ;

A 3 = A 1 - A 2 = π ( D 2 - d 2 ) 4 .

Temos:

R x = - ρ V 2 π D 2 4 + ρ V 2 π d 2 4 - ρ V 2 π ( D 2 - d 2 ) 4 ⋅ s e n   θ

R x = ρ V 2 π 4 ⋅ d 2 - D 2 + ρ V 2 π 4 ⋅ d 2 - D 2 ⋅ s e n   θ

R x = ρ V 2 π 4 ⋅ d 2 - D 2 ⋅ ( 1 + s e n   θ )

R x = - ρ V 2 π 4 ⋅ D 2 - d 2 ⋅ ( 1 + s e n   θ )

R x = - ρ V 2 π D 2 4 ⋅ 1 - d 2 D 2 ⋅ ( 1 + s e n   θ )

Passo 4

Dados:

V = 5   m / s ;

D = 100   m m ;

d = 25   m m ;

θ = 45 ° ;

ρ = 1000   k g / m 3 .

Temos:

R x = - 1000 ⋅ 5 2 ⋅ π ⋅ 0,1 2 4 ⋅ 1 - 0,025 2 0,1 2 ⋅ 1 + s e n   45 ° = - 314   N

Resposta

R x = - ρ V 2 π D 2 4 ⋅ 1 - d 2 D 2 ⋅ ( 1 + s e n   θ )

R x = - 314   N

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