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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 65

Um fabricante de equipamentos de esqui deseja desenvolver uma touca que irá oferecer melhor proteção térmica para os esquiadores nas descidas em dias frios. Toucas podem ser confeccionadas com boas características de isolamento térmico, mas tendem a ser grandes, pesadas e incômodas. Esquiadores preferem toucas mais leves e confortáveis que oferecem boa visibilidade, mas tais toucas tendem a ter características de isolamento deficientes. O fabricante decide adotar uma nova abordagem no projeto da touca, concentrando o isolamento em áreas da cabeça do esquiador que são propensas às maiores perdas de calor e minimizando o uso de isolamento em outros locais. Deste modo, o fabricante tem que determinar coeficientes de transferência de calor locais associados à cabeça humana com uma

velocidade de V   =   10 m s na direção normal à face em ar com temperatura de −13°C. Uma jovem engenheira decidiu usar a analogia entre as transferências de calor e de massa e a técnica de sublimação do naftaleno (veja o Problema 6.63) e moldou formas de cabeças em naftaleno sólido com dimensões características em meia escala (isto é, o tamanho do modelo é a metade do tamanho de uma cabeça).

  1. Que velocidade no túnel de vento ( T ∞   =   300   K ) é necessária para que os resultados experimentais possam ser aplicados à cabeça humana associada à velocidade V   =   10   m / s ?
  2. Um experimento no túnel de vento é realizado com Δ t   =   120   m i n ,     T ∞   =   27 ° C . A engenheira constatou que o naftaleno retrocedeu δ 1   =   0,1   m m na parte de trás da cabeça, δ 2   =   0,32   m m no meio da testa e δ 3   =   0,64   m m na orelha. Determine os coeficientes de transferência de calor nesses locais para a cabeça em escala real a −13°C. A massa específica do naftaleno sólido é ρ A , s o l   =   1025 k g m 3 .
  3. Após o desenho da nova touca, os modelos (meia escala) foram equipados com as toucas e os experimentos foram repetidos. Algumas áreas dos modelos nas quais constatou-se que os coeficientes de transferência de calor locais eram baixos foram deixadas descobertas, pois o isolamento dessas áreas teria pequeno benefício em termos globais na redução das perdas de calor durante a prática do esqui. Você esperaria que os coeficientes de transferência de calor locais nessas áreas expostas permanecessem os mesmos dos existentes antes da colocação das toucas nos modelos? Explique sua resposta.

Passo 1

Animados para continuar ??

Eu espero que siiim !!

Esta aqui é bem legal, nós temos duas condições: as condições reais do esquiador e as condições no túnel de vento. Então nós vamos aplicar a similaridade dinâmica para ambos os casos:

R e e = R e v

V e L e v e = V v L v v v

Nós sabemos que:

T ∞ ,   e = 260   K

T ∞ ,   v = 300   K

V e = 10 m s

L v = L e 2

Olhando a Tabela A.4:

v   e = 12,33 × 10 - 6 m 2 s

k e = 23,1 × 10 - 3 W m K

v v = 15,89 × 10 - 6 m 2 s

k v = 26,3 × 10 - 3 W m K

E substituindo para a velocidade do túnel de vento:

10 m s L e 12,33 × 10 - 6 m 2 s = V v L e 2 15,89 × 10 - 6 m 2 s

V v = 25,8 m s

Bora pra letra (b)?

Passo 2

Bom galerinha, aqui nós precisamos lembrar de uma equação muito importante:

n ' ' A = ρ A , s o l δ ∆ t

Onde n ' ' A é a taxa de evaporação e δ a espessura da camada limite!

Lembrando que a taxa de evaporação também pode ser calculada como:

n " A = h m ρ A ,   s - ρ A ,   ∞

Então:

h m ρ A ,   s - ρ A ,   ∞ = ρ A , s o l δ ∆ t

h m = ρ A , s o l δ ∆ t ρ A ,   s - ρ A ,   ∞

Nos foi dado que:

Δ t   =   120   m i n × 60   s 1   m i n = 7200   s

T ∞   =   300   K

δ A t r á s   =   0,1   m m =   0,1 × 10 - 3 m

δ M e i o   =   0,32   m m =   0,32 × 10 - 3 m

δ O r e l h a   =   0,64   m m =   0,64 × 10 - 3 m

ρ A , s o l   =   1025 k g m 3

ρ A ,   ∞ = 0 k g m 3

A última coisa que nós precisamos achar é a densidade do naftaleno na superfície e para isso basta nós lembrarmos de usar a equação para os gases ideais, ok?

p A ,   s a t V A = R T s

Se:

V A = M ρ A

Portanto:

p A ,   s a t M ρ A , = R T s

Isolando a densidade:

ρ A = M p A ,   s a t R T s

Lembrando que:

M   =   128,16 k g k m o l

p A , s a t   = 1,33   ×   10 - 4   b a r

T s = 300 K

R = 0,08314 m ³ . b a r k m o l K

Substituindo:

ρ A , s = 128,16 k g k m o l 1,33   ×   10 - 4   b a r 0,08314 m ³ . b a r k m o l K 300   K = 6,83 × 10 - 4 k g m 3

Agora, com todos os dados podemos calcular os coeficiente !!

Passo 3

Para a parte de trás da cabeça:

h m ,     a t r á s =   0,1 × 10 - 3 m 1025 k g m 3 7200   s 6,83 × 10 - 4 k g m 3

h m ,     a t r á s = 2,08 × 10 - 2 m s

Para a parte de meio da testa:

h m ,       m e i o =   0,32 × 10 - 3 m 1025 k g m 3 7200   s 6,83 × 10 - 4 k g m 3

h m ,       m e i o = 6,67 × 10 - 2 m s

Para a parte da frente da cabeça:

h m ,     f r e n t e =   0,64 × 10 - 3 m 1025 k g m 3 7200   s 6,83 × 10 - 4 k g m 3

h m ,     f r e n t e = 1,33 × 10 - 1 m s

Mas ainda não é o que queremos, certo?

Queremos achar h e para isso nós vamos usar a relação:

h h m ,   = ρ c p L e ( 1 - n )

Onde ρ é a densidade, c p o calor específico a pressão constante, L e o número de Lewis.

O número de Lewis também pode ser escrito como:

L e = α D A B

Onde α é a difusividade térmica e D A B a difusividade mássica!!

Para a maioria das aplicações n = 1 3 :

h h m ,   = ρ c p α D A B 1 - 1 3

h = h m ,   ρ c p α D A B 2 3

Na Tabela A.4 para nossa temperatura de 300 K nós temos:

ρ = 1,161 k g m 3

c p = 1007 J k g K

α = 22,5 × 10 - 6 m 2 s

E na Tabela A.8 para o naftaleno e o ar:

D A B = 0,62 × 10 - 5 m 2 s

Então nós só precisamos achar o h , não é?

Passo 4

Para a parte de trás da cabeça:

h m ,     a t r á s = 2,08 × 10 - 2 m s 1,161 k g m 3 1007 J k g K 22,5 × 10 - 6 m 2 s 0,62 × 10 - 5 m 2 s 2 3

h m ,     a t r á s = 57,4 W m 2 K

Para a parte de meio da testa:

h m ,       m e i o = 6,67 × 10 - 2 m s 1,161 k g m 3 1007 J k g K 22,5 × 10 - 6 m 2 s 0,62 × 10 - 5 m 2 s 2 3

h m ,       m e i o = 184 W m 2 K

Para a parte da frente da cabeça:

h m ,     f r e n t e = 1,33 × 10 - 1 m s 1,161 k g m 3 1007 J k g K 22,5 × 10 - 6 m 2 s 0,62 × 10 - 5 m 2 s 2 3

h m ,     f r e n t e = 368 W m 2 K

Acabamos?

Claroo que não !!

Estes valores são feitos para a metade da escala real, então vamos usar uma analogia similar ao número de Reynolds, porem com o Nusselt:

N u e = N u v

h e L e k e = h v L v k v

Isolando:

h e = h v k e k v L v L e  

Como nós já sabemos os dados:

h e = h v 23,1 × 10 - 3 W m K 26,3 × 10 - 3 W m K L e 2 L e  

h e = 0,439 . h v

Substituindo para cada parte!

Para a parte de trás da cabeça:

h a t r á s = 0,439 . 57,4 W m 2 K

h   a t r á s = 25,2 W m 2 K

Para a parte de meio da testa:

h m e i o = 0,439 . 184 W m 2 K

h m e i o = 80,8 W m 2 K

Para a parte da frente da cabeça:

h f r e n t e = 0,439 . 368 W m 2 K

h m ,     f r e n t e = 162 W m 2 K

Agoora foi galerinhaa !! Terminamos a letra (b), mas ainda temos que dar uma olhadinha na (c) !!

Passo 5

Quando nós colocamos a touca, o que vai acontecer?

Ela vai acabar por alterar a geometria daquela superfície e, consequentemente, mudará o coeficiente de transferência de calor. Portanto, as regiões deixadas descobertas serão recuadas em relação ao resto da superfície.

Então, provavelmente nós teremos uma ligeira redução da velocidade local próxima à superfície e, consequentemente, do coeficiente de transferência de calor local.

O que acharam desta?

Resposta

  1. V v = 25,8 m s ;
  2. h   a t r á s = 25,2 W m 2 K             h m e i o = 80,8 W m 2 K           h m ,     f r e n t e = 162 W m 2 K ;
  3. C o m o   v i s t o   a c i m a .
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