Enunciado

Um fluido incompressível escoa sobre uma placa plana impermeável, como mostra abaixo, com um perfil uniforme na entrada, u = U o , e um perfil polinomial cúbico na saída

u ≈ U o 3 η - η 3 2 onde η = y / δ .

Calcule a vazão volumétrica Q através da superfície superior do volume de controle.

Passo 1

E “lerigou” para mais uma questãozinha de mecflu?

Então, vamos lembrar do nosso balanço de massa para um fluido incompressível e, portanto, não tendo acúmulo, em outras palavras, regime permanente.

Q e = Q s a i

Olhando para o nosso desenho, você concorda comigo que temos duas vazões que estão saindo, certo? É o “Q” que está apontado pra cima e temos o “Qcub” que está saindo com o perfil cúbico. Entrando temos apenas um “Qe”, beleza?

Q e = Q + Q c ú b

Passo 2

Bora agora calcular essas vazões aí, beleza?

Q e = U 0 A t r a n s v e r a l

Q e = U 0 b δ

Q c ú b = ∫ 0 b ∫ 0 y U 0 3 y 2 δ - y 3 2 δ 3 d x d y = U 0 b ∫ 0 y 3 y 2 δ - y 3 2 δ 3 d y

Q c ú b = U 0 b ∫ 0 δ 3 y 2 δ d y - ∫ 0 δ y 3 2 δ 3 d y = U 0 b 3 δ 2 4 δ - δ 4 8 δ 3 = U 0 b 3 δ 4 - δ 8

Q c ú b = U 0 b 5 8 δ

Passo 3

Logo, temos que:

Q e = Q + Q c ú b → Q = Q e - Q c ú b

Q = U 0 b δ - U 0 b δ 5 8 = U 0 b δ 1 - 5 8 = 3 8 U 0 b δ

Resposta

Q = 3 8 U 0 b δ

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