Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 78
O nível de água em um grande tanque é mantido na altura H acima do terreno plano em volta. Um bocal bem configurado é instalado na lateral do tanque de modo a produzir um jato de descarga horizontal. Desprezando o atrito, determine a altura em que o orifício deve ser feito de modo que a água atinja o solo na máxima distância horizontal X a partir do tanque. Trace um gráfico da velocidade do jato V e da distância X como funções de .
Passo 1
A primeira coisa que devemos fazer é ilustrar o problema:
Agora vamos aplicar Bernoulli entre a superfície do tanque (ponto 0) e o ponto de saída do orifício (1), então, temos:
Nesse caso, como a superfície do tanque e a saída do jato (ponto 1) estão expostos ao ambiente, então e os termos de pressão se cancelam. Como o tanque possui grandes dimensões e o nível de água é constante, temos . Substituindo os valores conhecidos, temos:
Agora, para encontrar a distância percorrida pelo jato de água, podemos usar:
Passo 2
A única força que age sobre a água saindo do tanque é a gravidade, de modo que:
No entanto, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então:
Então, substituindo a expressão na equação anterior, temos:
Integrando essa equação dos dois lados, temos:
No entanto, sabemos que o jato de água não tem velocidade inicial na direção , então , dessa forma:
Agora, sabemos que a velocidade é a derivada da posição, então:
Substituindo essa expressão na equação para a velocidade, temos:
Integrando dos dois lados, temos:
Agora, isolando dessa equação, temos:
Passo 3
Sabemos que o tempo em que o jato fica no ar é dado por:
E, da figura do passo 1, sabemos que :
Substituindo esse valor na equação para obtida no passo 1, temos:
Sendo assim, teremos o maior valor de quando for máximo, então, para encontrar o valor máximo, podemos derivar essa expressão e igualar o resultado a 0, derivando essa expressão, temos:
Essa é a altura para que o jato atinja a maior distância .
Passo 4
Agora para desenhar os gráficos, vamos voltar à equação de velocidade do passo 1:
Precisamos deixar a equação num formato onde temos somente a relação do outro lado para que possamos avaliar com os dados fornecidos, então dividindo a equação por , temos:
Plotando o gráfico dessa função para o intervalo ou, de maneira equivalente, , temos:
Passo 5
Agora da equação para a distância atingida, temos:
Da mesma forma, dividindo a equação por , temos:
Plotando o gráfico dessa função para o intervalo ou, de maneira equivalente, , temos:
