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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 62

For the system of Prob. P5.22, assume that a small model

wind turbine of diameter 90 cm, rotating at 1200 r/min,

delivers 280 watts when subjected to a wind of 12 m/s. The

data is to be used for a prototype of diameter 50 m and

winds of 8 m/s. For dynamic similarity, estimate (a) the

rotation rate, and (b) the power delivered by the prototype.

Assume sea-level air density.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Conte as variáveis. Existem 5 variáveis e três dimensões primárias, M , L , T portanto, esperamos 5 - 3 = 2 Π um grupo. Escreva as relações dimensionais para variáveis.

P   = M L 2 T 3 ρ   = M L 3 V   = L T D   = L ω   = 1 T

Aqui, é a P potência desenvolvida pela turbina, é V a velocidade do vento, é a ρ densidade do fluido, é D o diâmetro do tubo e é ω a taxa de rotação.

Passo 2

Inspecionar usando ( ρ , V , D ) como variáveis repetidas também funcionará. Apenas P , V , e ω contém tempo T . Escreva a relação para calcular o Π grupo por variáveis fundamentais.

Π 1   = ρ a V b D c P   = M 0 L 0 T 0 . . . ( 1 )

Substitua M L 3 por ρ , L T por V , L por D e P por M L 2 T 3 .

M L 3 a L T b L c M L 2 T 3 = M 0 L 0 T 0

Compare as potências da variável de massa.

a + 1 = 0 . . . ( 2 )

Passo 3

Compare as potências da variável comprimento.

  - 3 a + b + c + 2 = 0 3 a - b - c = 2 . . . ( 3 )

Compare as potências da variável tempo.

  - b - 3 = 0 b = - 3 . . . ( 4 )

Resolva valores das equações (2), (3) e (4).

a = - 1 b = - 3 c = - 2

Substitua - 1 por a , - 3 por b e - 2 por c na equação (1).

Π 1   = ρ a V b D c P   = P ρ D 2 V 3

Calcule o segundo termo Pi com base no mesmo procedimento.

Π 2 = ω D V

Passo 4

Escreva a relação adimensional final.

Π 1 = Π 2

Substituindo valores

P ρ D 2 V 3 = ω D V P ρ D 2 V 3 = f u n ⁡ ω D V

Passo 5

a) Calcular a taxa de rotação. Escreva a relação para calcular o valor do modelo.

m = ω D V . . . ( 4 )

Substituindo valores

m   = ( 20 r / s ) ( 0.9   m ) ( 12   m / s )   = 1.5

Passo 6

Substituindo e resolvendo para ω na equação (4)

m   = ω D V 1.5   = ω × 50   m 8   m / s ω   = 1.5 × 8   m / s 50   m   = 0.24 r / s × 60   s / m i n   = 14.4 r / m i n

Assim, a taxa de rotação é 14.4 r / m i n .

Passo 7

b) Calcule a potência desenvolvida pelo protótipo. Escreva a relação para calcular o valor do protótipo.

p = P ρ D 2 V 3

Substituindo valores

p   = 280   W 1.22   k g / m 3 × ( 0.9   m ) 2 × ( 12   m / s ) 3   = 280   W 1707.60   W   = 0.164

Passo 8

Substituindo valores na equação (5)

p = P ρ D 2 V 3 0.164 = P 1.22   k g / m 3 × ( 50   m ) 2 × ( 8   m / s ) 3 P = 1.22   k g / m 3 × ( 50   m ) 2 × ( 8   m / s ) 3 × 0.164   = 256102.4   N - m / s   = 256.10   k W

Assim, o poder desenvolvido pelo protótipo é 256.10   k W .

Resposta

a) ω = 14.4 r / m i n

b) P = 256.10   k W

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