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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 32

A resposta para o Problema P4.14 é v θ = f ( r ) somente. Não conte isso para os seus amigos se eles ainda estiverem tentando resolver o Problema P4.14. Mostre que esse campo de escoamento é uma solução exata para as equações Navier-Stokes (4.38) para apenas dois casos especiais da função f ( r ) . Despreze a gravidade. interprete esses dois casos fisicamente.

Passo 1

Bora lá resolver esse trem!

Temos que v θ = f ( r ) , certo?! Tendo v r = v z = 0 , precisamos achar uma equação que satisfaça a relação de momento em θ :

ρ v r ∂ v θ ∂ r + v θ r ∂ v θ ∂ θ = - 1 r ∂ p ∂ θ + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ v θ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v θ ∂ θ 2 - v θ r 2  

ρ 0 + 0 = - 0 + μ 1 r d d r r d f d r + 0 - f r 2

f ' ' + 1 r f ' - 1 r 2 f = 0

Essa EDO sempre tem uma solução na forma de uma lei de potência dada por f = C r n . Assim, temos duas soluções particulares sendo,

f 1 = C 1 r

f 2 = C 2 r

Temos f 1 sendo a rotação de um corpo sólido e f 2 um vórtice irrotacional!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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