Gás natural, com k = 1,3 e peso molecular de 16, deve ser bombeado através de um gasoduto de 100 km e 81 cm de diâmetro. A pressão a jusante é de 150 kPa. Se o gás entra a 60°C, a vazão em massa é de 20 kg/s e f = 0,024 , calcule a pressão de entrada necessária para (a) escoamento isotérmico e (b) escoamento adiabático?

Passo 1

Vamos lá galerinha, bora começar esse desafio ai!

(a) Bem, para um sistema isotérmico, temos a seguinte relação:

m ˙ A 2 = 20 π 4 0,81 2 2 = p 1 2 - P 2 2 R T f L D + 2 ln ⁡ p 1 p 2

Então vamos lá, temos quase tudo já prontinho aí pra gente!!!! Só falta ter o valor de R do gás. Para calcular ele, você deve lembrar que ele é a razão entre a constante universal dos gases e a massa molecular do gás, ou seja:

R = 8314 16 = 520 J k g . K

20 π 4 0,81 2 2 = p 1 2 - 150000 2 520 ( 333 ) 2693 + 2 ln ⁡ p 1 150000

Resolvendo essa equação para pressão 1, temos que p 1 = 829   k P a

Passo 2

(b) Para um sistema adiabático, o conjunto de equações muda para:

V 1 2 = a 0 2 1 - V 1 V 2 2 k f L D + k + 1 ln ⁡ V 2 V 1

Aí beleza, mas quem é esse lindão da velocidade do som a 0 ???

Passo 3

Na resolução da letra (a), o resultado nos mostra um baixo número de Mach, em torno de 0,02.

Além disso, estávamos num sistema isotérmico e, portanto, a temperatura de entrada deve ser igual a de saída e a velocidade do som na entrada deve ser então bem próxima da velocidade do som na saída, ou seja, a 0 ≈ a s a í d a ≈ k R T = 1,3 520 333 = 475   m / s .

Substituindo então na equação do passo 2:

V 1 2 = 475 2 1 - V 1 V 2 2 1,3 2963 + 2,3 ln ⁡ V 2 V 1

Mas ainda assim temos duas variáveis aí, que são as velocidades! Bem, uma boa aproximação que podemos usar nesses casos é que V 1 V 2 ≈ p 2 p 1

V 2 = V 1 p 1 p 2

Vamos pegar essa equação e substituir dentro da nossa equação de cima!!

V 1 2 = 475 2 1 - V 1 V 1 p 1 p 2 2 1,3 2963 + 2,3 ln ⁡ V 1 p 1 p 2 V 1

Resolvendo para V 1 teremos que V 1 = 7,54   m / s e por consequência saberemos qual é o valor de V 2 , certo? Então beleza! Temos agora o valor de V1 e V2.

Passo 4

A conservação da massa deve ser respeitada e podemos escrever também que:

ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2 = m ˙ A = 20 π 4 0,81 2 = 38,81   k g / s . m ²

Note que podemos conhecer então quem é nossa densidade 1, pois

ρ 1 = 38,81 7,54 = 5,15   k g / m ³

p 1 = ρ 1 R T 1 = 5,15 520 333 = 892   k P a

Resposta

a p 1 = 892   k P a

b p 1 = 892   k P a

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