O gerador de potência elétrica de um satélite em órbita é composto por uma fonte de calor cilíndrica e longa, feita de urânio, que se encontra no interior de um recipiente de seção transversal quadrada. A única forma do calor gerado pelo urânio deixar o recipiente é através de quatro filas de módulos termoelétricos do Exemplo 3.13. Os módulos termoelétricos geram potência elétrica e também emitem radiação para o espaço, caracterizado por T v i z = 4   K . Considere a situação na qual há 20 módulos em cada fila, ou seja, um total de M = 4   .   20   =   80 módulos. Os módulos estão ligados em série com uma carga elétrica de R e ,   c a r g a = 250   V e tem uma emissividade de ε = 0,93 . Determine a potência elétrica gerada para E g = 1 , 10 e 100   k W . Também determine as temperaturas superficiais dos módulos para as três taxas de geração de energia térmica.

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão? Partiu!

Determinar a potência elétrica gerada para as diferentes taxas de geração… Vamos nessa!

Agora vamos lembrar que para calcular nossa potência podemos usar a fórmula:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

Então precisamos encontrar esse I , beleza? Pra isso precisamos do:

R t ,   c o n d = L N . A . k

R t ,   c o n d = 2,5   .   10 - 3 100   .   1,2   .   10 - 5   .   1,2

R t ,   c o n d = 1,736   K / W

Agora precisaremos usar as equações 3.125 e 3.126 do livro… Tudo em prol da corrente, vamos lá:

q 1 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 1 - I 2   .   R e ,   e f f

q 1 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

q 2 = 1 R t ,   c o n d   .   T 1 - T 2 + I   .   S p - n ,   e f f   .   T 2 - I 2   .   R e ,   e f f

q 2 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

Passo 2

Agora vamos encontrar quem é o nosso q 2 :

q 2 = T 2 - T ∞ R r a d ,   c o n v

q 2 = T 2 - T s u r   .   h r   .   W ²

q 2 = T 2 - 4 .   h r   . 0,054 ²

O h r também é uma função de T 2 , então vamos substituí-lo:

q 2 = T 2 - 4   .   0,054 ²   .   h r

q 2 = T 2 - 4   .   0,054 ²   .   ε . σ . T 2 + T s . T 2 ² + T s ²

q 2 = T 2 - 4   .   0,054 ²   .   0,93   .   5,67   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 4 ²

q 2 = T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16

Se a nossa energia produzida é igual a nossa energia dissipada, vamos ter que:

I 2   .   R e ,   c a r g a = M   .   I   .   S p - n ,   e f f   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   R e ,   e f f

I 2   .   250 = 80   .   I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 2   .   I ²   .   4

I 2   = 80 250   .   I   .   0,1435   .     T 1 - T 2 - 8   .   I ²

I 2   =   I   .   0,1435   .   0,32   .     T 1 - T 2 - 8   .   0,32   .   I ²

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Passo 3

E ainda está faltando o nosso q 1 , não podemos esquecer dele! Podemos encontrar ele por essa equação aqui olha só:

q 1 = E g M

Vamos começar com o nosso E g = 1   k W , ok?

q 1 = 1000 80

q 1 = 12,5   W

Para o nosso E g = 10   k W , o q 1 será:

q 1 = 10000 80

q 1 = 125   W

E por último, para o nosso E g = 100   k W , o q 1 será:

q 1 = 100000 80

q 1 = 1250   W

Nós temos três valores de q 1 , então vamos ter três valores diferentes de I e de T 2 e de P , certo?

Passo 4

Agora podemos montar o que achamos em um sistema de três equações e três incógnitas, começando pelo primeiro valor de q 1 , olha só:

12,5 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Sistema a gente já está acostumado a resolver, né? Apesar deste ser mais complexo, a gente consegue tranquilo… E resolvendo esse carinha aí vamos ter que:

I = 0,10   A T 2 = 534   K

Agora é só retornar lá na nossa equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 0,10 2   .   250

P = 2,5   W

Passo 5

Agora vamos para o segundo valor de q 1 , repetindo o mesmo procedimento…

Montar o sisteminha:

125 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Resolvendo vamos ter que:

I = 0,67   A T 2 = 947   K

E usando a equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 0,67 2   .   250

P = 112,23   W

E pra fechar…

Passo 6

Vamos para o terceiro valor de q 1 , repetindo o mesmo processo…

Montar o sisteminha:

1250 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 1 - I 2   .   4

T 2 - 4   .   0,00292   .   5,2   .   10 - 8 . T 2 + 4 . T 2 ² + 16 = T 1 - T 2 1,736 + I   .   0,1435   .   T 2 - I 2   .   4

I 2   =   I   .   0,046   .     T 1 - T 2 - 2,56   .   I ²

Resolvendo teremos:

I = 3,99   A T 2 = 1671   K

E usando a equação da potência:

P = I 2   .   R e ,   c a r g a

P = 3,99 2   .   250

P = 3980   W

Uhull! Conseguimos!

Resposta

Para E g =   1   k W :

I = 0,10   A T 2 = 534   K P = 2,5   W

Para E g =   10   k W :

I = 0,67   A T 2 = 947   K P = 112,23   W

Para E g =   100   k W :

I = 3,99   A T 2 = 1671   K P = 3980   W

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