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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 27

A janela traseira vertical de um automóvel tem uma espessura L   =   8   m m e uma altura H   =   0,5   m . O vidro contém fios aquecedores formando uma malha fina que podem induzir um aquecimento volumétrico praticamente uniforme, q ˙ ( W / m 3 ) .

(a) Considere condições de regime estacionário, nas quais a superfície interna da janela está exposta ao ar quiescente a 10 ° C , enquanto a superfície externa está exposta ao ar ambiente a – 10 ° C , movendo-se paralelamente a superfície com uma velocidade de 20   m / s . Determine a taxa volumétrica de aquecimento necessária para manter a superfície interna da janela a uma temperatura de T s , i   =   15 ° C .

(b) As temperaturas interna e externa da janela, T s , i e T s , e , dependem das temperaturas no interior do carro e no ambiente, T ∞ , i e T ∞ , e , respectivamente, assim como da velocidade u ∞ do ar escoando sobre a superfície externa e da taxa volumétrica de aquecimento . Sujeitos à restrição de que T s , i deve ser mantida a 15 ° C , desejamos desenvolver diretrizes para variar a taxa de aquecimento em resposta a variações em T ∞ , i e T ∞ , e e/ou u ∞ . Se T ∞ , i for mantido a 10 ° C , como irão variar   q ˙ e T s , e em função de T ∞ , e no intervalo – 25   ≤   T ∞ , e ≤   5 ° C , com u ∞   =   10 ,   20   e   30   m / s ? Se for mantida uma velocidade constante do veículo, como   u ∞   =   30   m / s , como irão variar   q ˙ e T s , e em função de T ∞ ,   i no intervalo 5   ≤   T ∞ , i   ≤   20 ° C , para T ∞ , e   =   – 25 ,   – 10   e 5 ° C ?

Passo 1

Nessa questão nós temos as condições de contorno associadas a uma janela traseira com aquecimento volumétrico uniforme e queremos encontrar a taxa de aquecimento volumétrico q ˙ necessária para manter a temperatura da superfície interna em T s ,   i   =   15 ° C e os efeitos de T ∞ ,   o ( ou   T ∞ , e )   ,   u ∞   e   T ∞ ,   i em q ˙ e T s ,   o ( ou   T s , e )   .

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

(1) Condições unidimensionais em estado estacionário;

(2) Propriedades constantes, retiradas da Tabela A.3;

(3) Aquecimento volumétrico uniforme na janela;

(4) A transferência de calor por convecção da superfície interior da janela para o ar interior pode ser aproximada como convecção livre de uma vertical;

(5) A transferência de calor da superfície externa é devida à convecção forçada sobre uma placa plana em fluxo paralelo.

A distribuição de temperatura no vidro é governada pela forma apropriada da equação do calor cuja solução geral é dada por,

T x = - q ˙ 2 k x 2 + C 1 x + C 2

As constantes de integração podem ser avaliadas aplicando condições de contorno apropriadas em x   =   0 . Em particular, com T   ( 0 )   =   T s ,   i ,   C 2   =   T s ,   i . Aplicando um balanço de energia na superfície interna,

q c o n d ' ' = q c o n v , i ' '

- k d T d x x = 0 = h i - ( T ∞ , i - T s , i )

- k - q ˙ k x + C 1 x = 0 = h i - ( T ∞ , i - T s , i )

C 1 = - h i - k ( T ∞ , i - T s , i )

T x = - q ˙ 2 k x 2 - h i - k ( T ∞ , i - T s , i ) x + T s , i

Passo 3

A geração necessária pode então ser obtida através da formulação de um balanço energético na superfície externa, onde,

q c o n d ' ' = q c o n v , e ' '

- k d T d x x = L = h e - ( T ∞ , e - T s , e )

- k d T d x x = 0 = - k - q ˙ L k + h i - T ∞ , i - T s , i = q ˙ L + h i - T ∞ , i - T s , i

Substituindo essa equação na do balanço de energia temos,

q ˙ L = h e - T s , e - T ∞ , e + h i - T ∞ , i - T s , i

Onde T s , e pode ser avaliado aplicando a seguinte equação em x   =   L .

T s , e = - q ˙ L 2 k - h i - T ∞ , i - T s , i k L + T s , i

Passo 4

O coeficiente de convecção interno pode ser obtido por,

R a H = g β ( T s , i - T ∞ , i ) H 3 ν α = 9,8 m s 2 3,503 × 10 - 3 K - 1 15 - 10 K 0,5 m 3 14,60 × 10 - 6 m 2 s 20,59 × 10 - 6 m 2 s = 7,137 × 10 7

Substituindo os valores temos,

N u H - = 0,825 + 0,387   R a H 1 / 6 1 + 0,492 P r 9 / 16 8 / 27 2 = 0,825 + 0,387   7,137 × 10 7 1 6 1 + 0,492 0,711 9 16 8 27 2 = 55,2

h i - = N u H - k H = 55,2 × 0,0251 W m . K 0 , 5 m = 2,77 W m 2 . K

Passo 5

O coeficiente de convecção externo pode ser obtido avaliando primeiro o número de Reynolds com,

R e H = u ∞ H v = 20 m / s   × 0,5 m 13,49 × 10 - 6   m 2 / s = 7,413 × 10 5

E com R e x ,   c =   5 ×   10 5 , existem condições mistas da camada limite. Consequentemente,

N u H - = 0,037   R e H 4 5 - 871 P r 1 3 = 864

h e - = N u H - k H = 864 × 0,02 4 1 W m . K 0,5 m = 41,6 W m 2 . K

Então,

T s , e = - q ˙ 0,008 m 2 2 1 , 4 W m . K - 2,77 W m 2 . K 10 - 15 K 1,4 W m . K × 0,008 m   + 288   K = - 2,286 × 10 - 5 q ˙ + 288 , 1   K

Repara que essa segunda parcela dá um número muito pequeno, então poderíamos desconsiderar.

Podemos também resolver para q ˙ ,

q ˙ = - 43745 T s , e - 288

Então,

- 43745 T s , e - 288 0,008 m = 41,6 W m 2 . K T s , e - 263   K + 2,77 W m 2 . K 288 - 283 K

Assim, temos que T s , e =   285,4   K , caso em que:

q ˙ = 118   k W / m 3

Resposta

q ˙ = 118   k W / m 3

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