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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 101

Em um longo bastão cilíndrico, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica de 0,5 W/(m · K), há geração volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24.000 W/m³. O bastão está encapsulado por uma luva cilíndrica, com diâmetro externo igual a 400 mm e condutividade térmica de 4 W/(m · K). A superfície externa da luva está exposta a um escoamento cruzado de ar a 27°C com um coeficiente convectivo de 25 W/(m² · K).

(a) Ache a temperatura na interface entre o bastão e a luva, e na superfície externa.

(b) Qual é a temperatura no centro do bastão?

Passo 1

Beleza! Vamos começar a letra (a) encontrando a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento. Ela pode ser encontrada a partir da energia gerada, então, temos:

q ' = E ˙ g ' = q ˙ A c = q ˙ π D 1 2 4

Substituindo os valores conhecidos, temos:

q ' = 24000 π 0,2 2 4 → q ' = 754   W / m

Agora, vamos utilizar os conceitos de resistência térmica, dessa forma, vamos calcular primeiroa resistência de condução, onde temos:

R c o n d ' = ln ⁡ r 2 r 1 2 π k l u v a = ln ⁡ 0,2 0,1 2 π 4 → R c o n d ' = 2,758.10 - 2   m . K / W

E, agora, para a resistência à convecção, temos:

R c o n v ' = 1 h π D 2 = 1 25 π 0,4 → R c o n v ' = 3,183.10 - 2   m . K / W

Passo 2

Agora, a equação para a taxa de energia por unidade de comprimento pode ser escrita como:

q ' = T 1 - T ∞ R c o n d ' + R c o n v ' = T 2 - T ∞ R c o n v '

Então, pegando o primeiro e segundo termo da equação acima e substituindo os valores conhecidos, temos:

q ' = T 1 - T ∞ R c o n d ' + R c o n v ' → 754 = T 1 - 27 2,758.10 - 2 + 3,183.10 - 2 → T 1 = 71,8   ° C

E, pegando a primeira e terceira parcela da equação de resistência térmica temos:

q ' = T 2 - T ∞ R c o n v ' → 754 = T 2 - 27 3,183.10 - 2 → T 2 = 51   ° C

Passo 3

Agora, para a letra (b), vamos utilizar a equação para o perfil de temperatura vista nessa seção, só que para o ponto r = 0 , então, a equação para o perfil de temperatura, que é dada por:

T r = T 1 + q ˙ r 1 2 4 k 1 - r 2 r 1 2 - q ˙ r 2 2 k ln ⁡ r 1 r

Calculando em r = 0 , essa equação se torna:

T 0 = T 1 + q ˙ r 1 2 4 k

Substituindo os valores conhecidos, temos:

T 0 = 71,8 + 24000 0,1 2 4 0,5 → T 0 = 191,8   ° C

Resposta

a :   T 1 = 71,8   ° C

a :   T 2 = 51   ° C

b :   T 0 = 191,8   ° C

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