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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 4

A massa de gás no interior de um botijão varia segundo a lei: m t = m 0 - β t , onde β = c t e . Sendo ρ s a massa específica do gás na seção de saída, calcular a velocidade média nessa seção, cuja área é A s .

Passo 1

Como o fluido é um gás, então ele sempre ocupa todo o volume disponível. Assim, podemos definir a densidade do gás como:

ρ = m t V

Passo 2

Vamos considerar agora a equação da continuidade para sistemas fechados:

∂ ∂ t ∫ V C ρ d V - ∫ S C ρ ⋅ v → × n → ⋅ d A = 0

A densidade varia com a massa. E a massa varia apenas com o tempo, então podemos removê-lo das integrais:

∂ ∂ t ρ ∫ V C d V - ρ ⋅ ∫ S C v → × n → ⋅ d A = 0

A integral ρ ⋅ ∫ S C v → × n → ⋅ d A ocorre na superfície de controle, que é a saída do sistema. Ou seja, neste ponto a velocidade é v s e é normal à área de saída, a densidade é ρ s e a área é A s

∂ ∂ t ρ ∫ V C d V - ρ s ⋅ v s ⋅ ∫ S C d A s = 0

Resolvendo as integrais:

∂ ∂ t ρ V - ρ s ⋅ v s ⋅ A s = 0

Como ρ varia apenas com o tempo, podemos simplificar a derivada parcial em derivada total:

V ⋅ d d t ρ - ρ s ⋅ v s ⋅ A s = 0

Passo 3

Vamos olhar pra derivada de ρ . Já definimos a seguinte expressão

ρ = m t V

Então:

d ρ d t = d d t m t V

Resolvendo:

d ρ d t = 1 V ⋅ d d t m ( t )

Substituindo a equação da massa:

d ρ d t = 1 V ⋅ d d t m 0 - β t

Resolvendo:

d ρ d t = - β V

Passo 4

V ⋅ d d t ρ - ρ s ⋅ v s ⋅ A s = 0

Agora aplicamos a expressão para a derivada da densidade

V ⋅ - β V - ρ s ⋅ v s ⋅ A s = 0

- β - ρ s ⋅ v s ⋅ A s = 0

Isolando a velocidade:

ρ s ⋅ v s ⋅ A s = β

v s = β ρ s A s

Resposta

v s = β ρ s A s

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