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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 10.Exercício - Ex. 9

Na instalação, a vazão de 100 L/s divide-se igualmente nos dois ramais. Qual é o momento em relação ao eixo z devido somente à ação da água? Dados: A 2 = A 3 = 2 ⋅ 10 - 3   m 2 ; p 1 = 100   P a ; γ = 10 4   N / m 3

Passo 1

Vamos aplicar a equação 10.28

M z = ∂ ∂ t ∫ V C ρ r 0 v θ d V + ∫ S C ρ r 0 v θ ( v → × n → ) d A

Consideramos que este seja um regime permanente, então a derivada do VC é zero:

∂ ∂ t ∫ V C ρ r 0 v θ d V = 0

Aplicando na equação:

M z = ∫ S C ρ r 0 v θ ( v → × n → ) d A

A velocidade é sempre ortogonal à área, então o produto vetorial é:

v → × n → = v θ

M z = ∫ S C ρ r 0 v θ v θ d A

M z = ∫ S C ρ r 0 v θ d Q

Resolvendo a integral entre os pontos (2) e (3)

M z = ρ 3 r 3 v 3 ⋅ Q 3 - ρ 2 r 2 v 2 Q 2

Passo 2

Vamos fazer algumas considerações:

Primeiro, como a água é um fluido incompressível:

ρ 3 = ρ 2 = ρ

Segundo, como as áreas de saída são iguais, vamos assumir que a vazão por elas é a mesma. Dessa forma, a vazão que entre em (1) é dividida igualmente para (2) e (3).

Q 3 = Q 2 = Q

Q = Q 1 2 = 50 L s = 50 ⋅ 10 - 3 m 3 s

Por consequência, a velocidade de saída em (2) e (3) é a mesma, e pode ser calculada por:

v 2 = v 3 = v

v = Q A = 50 ⋅ 10 - 3   m 3 / s 2 ⋅ 10 - 3   m 2 = 25 m s

Passo 3

Aplicando todas essas considerações na equação:

M z = ρ r 3 v ⋅ Q - ρ r 2 v Q

M z = ρ v Q ( r 3 - r 2 )

Aplicando os valores:

M z = 1000 k g m 3 ⋅ 25 m s ⋅ 50 ⋅ 10 - 3 m 3 s ( 1,5 - 0,5 )

M z = 1250   N m

Resposta

M z = 1250   N m

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