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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 102

Um material radioativo com condutividade térmica k é moldado como uma esfera sólida de raio r e e colocado em um banho líquido, no qual a temperatura T ∞ e o coeficiente convectivo h são conhecidos. Calor é gerado uniformemente no interior do sólido a uma taxa volumétrica q ˙ . Obtenha a distribuição de temperaturas radial no sólido, no regime estacionário, expressando o seu resultado em termos de r e , q ˙ , k, h e T ∞ .

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação da difusão para sistemas radiais com geração, então, temos:

1 r 2 . d d r k r 2 . d T d r + q ˙ = 0 → d d r r 2 . d T d r = - q ˙ r 2 k

Agora nós vamos integrar essa expressão dos dois lados em r , então, temos:

r 2 . d T d r = - q ˙ r 3 3 k + C 1 → d T d r = - q ˙ r 3 k + C 1 r 2

Agora, integrando novamente, chegamos em:

T r = - q ˙ r 2 6 k - C 1 r + C 2

Passo 2

Agora precisamos descobrir o valor das constantes C 1 e C 2 . Para isso, vamos primeiro utilizar a condição de contorno de que não temos fluxo de calor em r = 0 , então, podemos escrever:

r = 0 → d T d r = 0

Substituindo esses valores na expressão obtida no passo 1, chegamos em:

d T d r = - q ˙ r 3 k + C 1 r 2 → 0 = - q ˙ 0 3 k + C 1 0 2 → C 1 = 0

E, nossa segunda condição de contorno será que, na extremidade em r = r e , a transferência de calor por condução será igual àquela por convecção, então podemos escrever:

- k d T d r r = r e = h T r e - T ∞

Substituindo as expressões conhecidas, temos:

- k - q ˙ r e 3 k = h - q ˙ r e 2 6 k + C 2 - T ∞ → q ˙ r e 3 h = - q ˙ r e 2 6 k + C 2 - T ∞

C 2 = q ˙ r e 3 h + q ˙ r e 2 6 k + T ∞

Então, a equação para o perfil de temperatura será:

T r = - q ˙ r 2 6 k - C 1 r + C 2

T r = - q ˙ r 2 6 k + q ˙ r e 3 h + q ˙ r e 2 6 k + T ∞

Resposta

T r = - q ˙ r 2 6 k + q ˙ r e 3 h + q ˙ r e 2 6 k + T ∞

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