Enunciado

No método da separação de variáveis (Seção 4.2) para a condução bidimensional em regime estacionário, a constante de separação λ 2 nas Equações 4.6 e 4.7 deve ser uma constante positiva. Mostre que valores negativos ou iguais a zero para λ 2 resultarão em soluções que não podem satisfazer às condições de contorno especificadas.

Passo 1

Fala aí! Olha só, essa questão faz referência a duas equações do livro, então precisamos dar uma olhada nelas, beleza?

d 2 X d x ² + λ 2 X = 0 d 2 Y d y ² - λ 2 Y = 0

Certo, então agora vamos ficar atentos a nossas condições de contorno dadas no enunciado… Estamos trabalhando com condução bidimensional em regime estacionário e com propriedades constante… Elas nos dizem que:

θ ( 0 , y ) = 0 e θ ( x , 0 ) = 0

θ ( L , y ) = 0 e θ ( x , W ) = 1

Podemos então estabelecer nossa distribuição de temperatura como sendo:

θ ( x , y ) = X ( x )   .   Y ( y )

Agora sim podemos seguir!

Passo 2

Agora se a gente considerar λ 2 = 0 , vamos ter as nossas equações com essa cara:

X = C 1 + C 2   .   x Y = C 3 + C 4   .   y

E então podemos substituir isso na nossa distribuição de temperatura:

θ ( x , y ) = C 1 + C 2   .   x   .   C 3 + C 4   .   y

Partiu encontrar os valores das nossas constantes!

Passo 3

Vamos começar considerando x = 0 , ficaremos com:

θ ( 0 , y ) = C 1 + C 2   .   0   .   C 3 + C 4   .   y

C 1   .   C 3 + C 4   .   y = 0

E isso nos diz que:

C 1 = 0

Agora com y = 0 , teremos:

θ ( x , 0 ) = C 1 + C 2   .   x   .   C 3 + C 4   .   0

θ ( x , 0 ) = 0 + C 2   .   x   .   C 3

C 2   .   x   .   C 3 = 0

Opa! Então nosso:

C 3 = 0

Vamos então considerar o nosso x = L , ficaremos com:

θ ( L , y ) = C 1 + C 2   .   L   .   C 3 + C 4   .   y

θ ( L , y ) = 0 + C 2   .   L   .   0 + C 4   .   y

C 2   .   L   .   C 4   .   y = 0

Isso só acontecerá se:

C 2 = 0

E por último, mas não menos importante, y = W :

θ ( x , W ) = C 1 + C 2   .   x   .   C 3 + C 4   .   W

θ ( x , W ) = 0 + 0   .   x   .   0 + C 4   .   W

0   .   C 4   .   W = 1

Ops! Isso dá que:

0 ≠ 1

E o que isso significa?

Que provamos a primeira parte do que a nossa questão quer…

Passo 4

Olha só, se θ ( x , W ) ≠ 1 , isso significa que λ 2 = 0 não terá a forma de distribuição de temperatura que nós estipulamos… Assim como o enunciado pediu que a gente mostrasse…

Vamos fazer então o outro teste, sendo λ 2 < 0 , e repetir o procedimento anterior, ficando com:

X = C 5 . e - λ . x + C 6 . e λ . x Y = C 7 . c o s λ . y + C 8 . s e n λ . y

E substituindo isso na nossa distribuição de temperatura:

θ ( x , y ) = C 5 . e - λ . x + C 6 . e λ . x   .   C 7 . c o s λ . y + C 8 . s e n λ . y

Agora vamos encontrar essas novas constantes, ok?

Passo 5

Vamos começar com o y = 0 :

θ ( x , 0 ) = C 5 . e - λ . x + C 6 . e λ . x   .   C 7 . c o s λ . 0 + C 8 . s e n λ . 0

C 5 . e - λ . x + C 6 . e λ . x   .   C 7 . c o s 0 + C 8 . s e n 0 = 0

C 5 . e - λ . x + C 6 . e λ . x   .   C 7 . 1 + C 8 . 0 = 0

C 5 . e - λ . x + C 6 . e λ . x   .   C 7 = 0

Então temos que:

C 7 = 0

Vamos agora fazer x = 0 :

θ ( 0 , y ) = C 5 . e - λ . 0 + C 6 . e λ . 0   .   C 7 . c o s λ . y + C 8 . s e n λ . y

θ ( 0 , y ) = C 5 . e - 0 + C 6 . e 0   .   C 7 . c o s λ . y + C 8 . s e n λ . y

C 5 . e - 0 + C 6 . e 0   .   C 7 . c o s λ . y + C 8 . s e n λ . y = 0

C 5 + C 6   .   0 . c o s λ . y + C 8 . s e n λ . y = 0

C 5 + C 6   .   C 8 . s e n λ . y = 0

Temos então:

C 8 = 0

E sendo assim teremos:

C 5 + C 6 = 0

C 5 =   - C 6

Agora vamos substituir nossas constantes na equação com x = L :

θ ( L , y ) = C 5 . e - λ . L - C 5 . e λ . L   .   0 . c o s λ . y + 0 . s e n λ . y

C 5 . e - λ . L - C 5 . e λ . L   .   0 + 0 = 0

C 5 . e - λ . L - C 5 . e λ . L = 0

C 5 . e - λ . L - e λ . L = 0

Chegamos a conclusão que C 5 = 0 e C 6 = 0 então vamos cair no mesmo problema de antes, vamos ter:

θ ( x , W ) ≠ 1

E isso nos diz que λ 2 < 0 não terá também essa forma de distribuição de temperatura!

Prontinho! Conseguimos provar o que nosso enunciado pediu!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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