No método da separação de variáveis (Seção 4.2) para a condução bidimensional em regime estacionário, a constante de separação nas Equações 4.6 e 4.7 deve ser uma constante positiva. Mostre que valores negativos ou iguais a zero para resultarão em soluções que não podem satisfazer às condições de contorno especificadas.

Agora se a gente considerar , vamos ter as nossas equações com essa cara:

E então podemos substituir isso na nossa distribuição de temperatura:

Partiu encontrar os valores das nossas constantes!

Vamos começar considerando , ficaremos com:

E isso nos diz que:

Agora com , teremos:

Opa! Então nosso:

Vamos então considerar o nosso , ficaremos com:

Isso só acontecerá se:

E por último, mas não menos importante, :

Ops! Isso dá que:

E o que isso significa?

Que provamos a primeira parte do que a nossa questão quer…

Olha só, se , isso significa que não terá a forma de distribuição de temperatura que nós estipulamos… Assim como o enunciado pediu que a gente mostrasse…

Vamos fazer então o outro teste, sendo , e repetir o procedimento anterior, ficando com:

E substituindo isso na nossa distribuição de temperatura:

Agora vamos encontrar essas novas constantes, ok?

Vamos começar com o :

Então temos que:

Vamos agora fazer :

Temos então:

E sendo assim teremos:

Agora vamos substituir nossas constantes na equação com :

Chegamos a conclusão que e então vamos cair no mesmo problema de antes, vamos ter:

E isso nos diz que não terá também essa forma de distribuição de temperatura!

Prontinho! Conseguimos provar o que nosso enunciado pediu!