Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 128
Moldes de ferro fundido ou de aço são usados em máquinas rotativas de eixo horizontal para a fabricação de peças fundidas tubulares. Uma carga de metal líquido é vazada dentro do molde giratório. A aceleração radial permite a obtenção de espessuras de parede aproximadamente uniformes. Um tubo de aço, com comprimento , raio externo e raio interno , deve ser fabricado para esse processo. Para obter espessura aproximadamente uniforme, a velocidade angular mínima deve ser de 300 rpm. Determine (a) a aceleração radial resultante sobre a superfície interior do revestimento de aço e (b) a pressão máxima e a pressão mínima na superfície do molde.
Passo 1
Tá legal, vamos começar esse exercício escrevendo a aceleração radial:
No entanto, nós sabemos que a velocidade linear pode ser escrita em função da velocidade angular da seguinte forma:
Então, substituindo essa expressão na equação anterior, temos:
E, nós não teremos componente de aceleração nas direções e , então, temos:
Agora, sabemos que a gravidade irá influenciar nos movimentos do fluido, então, tomando como sendo o ângulo feito com a vertical, teremos:
Então, agora podemos calcular a aceleração radial resultante sobre a superfície interior do revestimento de aço. Antes disso, só precisamos converter a rotação para radianos por segundo, então, temos:
Então a aceleração será:
Passo 2
Agora, sabemos que podemos escrever a equação para a pressão hidrostática na direção como:
Então, substituindo as expressões encontradas para a aceleração no passo 1, temos:
Agora, aplicando a equação na direção , temos:
Substituindo os valores encontrados no passo 1, temos:
E, por fim, na direção teremos:
Substituindo os valores conhecidos, temos:
Então, o diferencial de pressão pode ser escrito como:
Substituindo as expressões encontradas acima, chegamos em:
Passo 3
Agora o que temos que fazer é integrar a expressão obtida no passo 2. Só que nesse caso, nossa função depende de e . Então, precisamos integrar duas vezes, uma em cada variável e depois encontrar o valor do fator integrante. Vamos começar tomando a derivada da expressão encontrada no passo 2 com relação a :
Agora vamos integrar a expressão para em função de , integrando de até uma distância qualquer, temos:
Resolvendo as integrais, temos:
Sabendo que para e substituindo os limites de integração, temos:
Passo 4
Agora, analisando a derivada da pressão em relação a , temos:
E, essa expressão deve ser igual a:
Dessa forma, igualando as duas expressões, temos:
Então, integrando essa expressão em , chegamos na função :
E, agora, para obter o valor da constante , vamos usar a condição de contorno conhecida, que nos dá a pressão atmosférica para , então, temos:
Então a equação para a pressão será:
Passo 5
Agora para descobrir o valor da pressão máxima, sabemos que ela ocorre na superfície, ou seja , e para , então, teremos:
Vamos obter um valor de pressão manométrica, então faremos , dessa forma, a equação se torna:
Substituindo os valores conhecidos na equação acima, temos:
E, da mesma forma, sabendo que a pressão mínima ocorre na superfície do molde, em e , temos: