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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 12

O movimento de fluido incompressível de peso desprezível realiza-se segundo o campo de velocidades v x = a x ; v y = b y ; v z = c z

  1. Determinar as condições para as quais o movimento é possível
  2. Verificar a possibilidade de aplicar a equação de Bernoulli
  3. Calcular a resultante da força de pressão sobre a placa de vértices A - m ; 0 ; m ,   B m ; 0 ; - n ,   C m ; 0 ; n ,   D - m ; 0 ; n . Admitir que no ponto 0 ; 0 ; 0 ,   p = p 0

Passo 1

Item A)

Se este é um escoamento incompressível, então ele deve respeitar a equação:

d i v   v → = 0

∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = 0

∂ ( a x ) ∂ x + ∂ ( b y ) ∂ y + ∂ ( c z ) ∂ z = 0

a + b + c = 0

Passo 2

Item B)

Vamos considerar o fluido ideal! E nós já temos garantias de que o fluido é incompressível! Para que seja possível aplicar bernoulli precisamos garantir também que o escoamento é irrotacional.

r o t   v → = ∂ v z ∂ y - ∂ v y ∂ z + ∂ v x ∂ z - ∂ v z ∂ x + ∂ v y ∂ x - ∂ v x ∂ y

r o t   v → = ∂ ( c z ) ∂ y - ∂ ( b y ) ∂ z + ∂ ( a x ) ∂ z - ∂ ( c z ) ∂ x + ∂ ( b y ) ∂ x - ∂ ( a x ) ∂ y

r o t   v → = 0

O escoamento é irrotacional, logo, podemos aplicar a lei de bernoulli.

Passo 3

Pela equação de bernoulli

p ρ + v 2 2 = c t e

Para P 0,0 , 0 ,   p = p 0 ,   v = 0

p 0 ρ = c t e

Logo:

p ρ + v 2 2 = p 0 ρ

p = p 0 - ρ v 2 2

A força de pressão é:

F = ∫ p ⋅ d A

Considerando o eixo x :

A = 4 m n

d A = 4 n ⋅ d x

p = p 0 - ρ a 2 x 2 2

Aplicando na integral: F = ∫ 0 m p 0 - ρ a 2 x 2 2 ⋅ 4 n ⋅ d x

4 n p 0 ⋅ x - 4 n ρ a 2 x 3 6 0 m

Chegamos em:

F = 2 n 2 p 0 m - ρ a 2 m 3 3

Resposta

  1. a + b + c = 0
  2. podemos aplicar a lei de bernoulli.
  3. F = 2 n 2 p 0 m - ρ a 2 m 3 3
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