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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 24

For laminar flow between parallel plates (see Fig. 4.12b),

the flow is two-dimensional (υ ? 0) if the walls are

porous. A special case solution is u 5 (A 2 Bx)(h2 2 y2),

where A and B are constants. (a) Find a general formula for

velocity υ if υ 5 0 at y 5 0. (b) What is the value of the

constant B if υ 5 υ

w at y 5 1h?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O diagrama mostra o fluxo laminar incompressível bidimensional entre placas paralelas onde as paredes são de meio poroso.

Passo 2

a) Aplicando equação de continuidade em forma bidimensional,

  ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0     ∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x . . . ( 1 )  

Temos a equação

u = ( A - B x ) h 2 - y 2

Substituto ( A - B x ) h 2 - y 2 para u na equação (1)

∂ v ∂ y     = - ∂ ∂ x ( A - B x ) h 2 - y 2   ∂ v ∂ y     = B h 2 - y 2   d v     = B h 2 - y 2 d y  

Passo 3

Integrando a equação acima em ambos os lados,

    ∫   d v = ∫   B h 2 - y 2 d y     v = B h 2 y - y 3 3 + K ( x ) … … ( 2 )  

Aqui, é K ( x ) a constante de integração e é uma função de x . Usando a condição inicial, v = 0 em y = 0 para a equação (1)

  0 = B h 2 ( 0 ) - ( 0 ) 3 3 + K ( x )     K ( x ) = 0  

Substitua 0 para K ( x ) na equação (1)

v = B h 2 y - y 3 3 … … ( 3 )

Portanto, a fórmula geral para a velocidade v é B h 2 y - y 3 3 .

Passo 4

b) Usando a condição de contorno na parede superior, v = v w em y = h na equação (2)

  v w = B h 2 × h - h 3 3     B = 3 v w 2 h 3  

Portanto, o valor de constante B é 3 v w 2 h 3 .

Resposta

a) v = B h 2 y - y 3 3

b) B = 3 v w 2 h 3

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