Enunciado

Um ovo comum pode ser tratado como uma esfera de 5,5   c m de diâmetro cujas propriedades são aproximadamente k = 0,6   W / m ⋅ K e α = 0,14 × 10 - 6   m 2 / s . O ovo está inicialmente a uma temperatura uniforme de 4 ℃ e é colocado na água fervente a 97 ℃ . Considerando o coeficiente de transferência de calor por convecção h = 1.400   W / m 2 ⋅ K , determine o tempo necessário para o centro do ovo chegar a 70 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro do ovo: D = 5,5   c m = 0,055   m

Condutividade térmica do ovo: k = 0,6   W / m ⋅ K

Difusividade térmica do ovo:   α = 0,14 × 10 - 6   m 2 / s

Temperatura inicial do ovo: T i = 4 ℃

Temperatura da água fervendo: T ∞ = 97 ℃

Temperatura final do ovo: T t = 70 ℃

Coeficiente de transferência de calor:  h = 1.400   W / m 2 ⋅ K

Ovo é de forma esférica:  r 0 = 2,75   c m = 0,0275   m

Passo 2

Nesse problema, vamos considerar que a condução de calor no ovo é unidimensional por causa da simetria sobre o ponto médio e as propriedades térmicas do ovo são constantes. Assim, o número da Biot para esse processo é:

B i = h r o k

Substituindo os dados fornecidos no enunciado, temos:

B i = 1.400   W / m 2 ⋅ K × 0,0275   m 0,6   W / m ⋅ K

B i = 64,16

Como o número de Biot é maior que 0,1 , a análise do sistema aglomerado não é aplicável. 

Passo 3

Vamos então resolver o problema usando a solução de termo único. Com o numero de Biot encontrado, podemos obter os coeficientes λ 1 e A 1 correspondentes ao número de Biot  B i = 64,16 , na tabela 4-2.

Para este número Biot, precisamos fazer uma interpolação.

λ 1 64,16 = 3,0788 + 3,1102 - 3,0788 × 64,16 - 50 100 - 50

λ 1 64,16 = 3,0877

A 1 64,16 = 1,9962 + 1,9990 - 1,9962 × 64,16 - 50 100 - 50

A 1 64,16 = 1,9970

Agora, podemos então usar a solução para condução transiente unidimensional em uma esfera de raio r o submetido à condução em todas as superfícies. Devido estamos interessado na temperatura no cento do ovo, podemos usar a seguinte equação:

T t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os valores fornecidos e encontrados nos passos anteriores, temos:

70 ℃ - 97 ℃ 4 ℃ - 97 ℃ = 1,9970 × e - 3,0877 2 × τ

0,29032 = 1,9970 × e - 9,5338 τ

0,14538 = e - 9,5338 τ

ln ⁡ 0,14538 = ln ⁡ e - 9,5338 τ

- 1,9284 = - 9,5338 τ

τ = 0,20227

Temos que τ > 0,2 , portanto, a solução aproximada de um termo é aplicável. Então, o tempo que levará para o centro do ovo alcançar  70 ℃ é determinado pelo número de Fourier. Assim temos:

τ = α t r o 2

Isolando t na equação.

t = τ r o 2 α

Substituindo os valores.

t = 0,20227 × 0,0275   m 2 0,14 × 10 - 6   m 2 / s

t = 1092,62   s

t = 18,21   m i n

Portanto, o tempo necessário para o centro do ovo chegar a  70 ℃ é  18,21   m i n .

Resposta

t = 18,21   m i n

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