Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 96
O painel curvo BC da Figura P2.96 é um arco de 60°, perpendicular ao fundo em C. Se o painel tiver 4 m de largura, calcule a força hidrostática resultante da água sobre o painel.
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.
Pra entender a questão, dá uma olhada na figura do enunciado. Temos um painel curvo BC no formato de um arco de círculo de ângulo , com um raio de e uma largura (imagina isso como uma terceira coordenada que “entra” dentro do papel) de .
A questão quer da gente a força hidrostática que age sobre o painel. Para encontra-la, teremos que calcular as componentes horizontal () e vertical () dessa força nos próximos passos.
Então, vamo lá resolver essa questão juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a componente horizontal . Para isso, devemos imaginar uma projeção em um ângulo de 90° com relação à direção dessa força, como na figura abaixo:
Observe que essa projeção é na verdade um retângulo, de base e altura , pois, como podemos ver pela figura, devemos utilizar relações trigonométricas para quantificar esta altura.
Sabendo disso, podemos definir a equação para calcular a componente vertical da força hidrostática:
Sendo: o peso específico, que para água à temperatura ambiente é 9790 ; a distância do centro de massa com relação à superfície livre; e a área do retângulo projetado.
Note, ainda, que , pois esta é a distância da superfície livre até o centro de massa da geometria onde queremos calcular a força hidrostática
Dessa forma, temos:
Passo 3
Agora vamos calcular a componente vertical .
Nesse caso, ela poderá ser calculada a partir da do que se chama peso da água “ausente”, ou seja, o peso que a água exerceria se o segmento de círculo estivesse preenchido com o fluido.
Pra entender melhor, veja a figura aí embaixo:
Para calcular teremos, então, que usar a seguinte equação:
Sendo: a área do retângulo que existiria se não houvesse o segmento ; e a área do segmento .
A área deve ser calculada a partir do uso de relações trigonométricas. Note que a altura do retângulo deve ser computada como , e sua base como .
Mas , pelas relações do triângulo retângulo, e . Dessa maneira, podemos calcular desse jeito:
Agora, para prosseguir com nossa resolução, vamo precisar calcular a área do segmento . Veja, pela figura, que esse segmento nada mais é o do que a área do setor circular menos área do triângulo retângulo
A área do setor circular é dada pela seguinte equação:
Sendo o ângulo do setor e seu raio.
Dessa maneira, temos:
Além disso, a gente pode calcular a área do triângulo retângulo :
Pronto, agora podemos calcular a área da seção :
E, finalmente, a gente vai conseguir calcular :
Ufa! Sei que esse passo foi meio longo, mas no próximo a gente vai encerrar o problema.
Passo 4
E pra finalizar a questão, iremos calcular a resultante da força hidrostática e sua linha de ação.
Primeiro, com as duas componentes e encontradas nos Passos 2 e 3, podemos calcular a resultante a partir do módulo dessas componentes:
Fazendo uma simples relação trigonométrica com o triângulo, podemos encontrar a resultante do ângulo entre (eixo horizontal) e :
Além disso, como a geometria é uma seção circular, a linha de ação de passa pelo ponto apontando para baixo fazendo com a horizontal.
Pronto, matamos a questão juntos!
Resposta
A força hidrostática resultante da água sobre o painel é , com sua linha de ação fazendo um ângulo de com a horizontal e passando pelo ponto