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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 53

Um fio, com diâmetro D = 2   m m e temperatura uniforme T , tem uma resistência elétrica de 0,01   Ω / m . Passa nesse fio uma corrente elétrica de 20   A .

a) Qual é a taxa na qual calor é dissipado por unidade de comprimento do fio? Qual é a dissipação térmica por unidade de volume no interior do fio?

b) Se o fio não for isolado e estiver em um ambiente com ar e vizinhança a T ∞ = T v i z = 20 ° C , qual será a temperatura T do fio? O fio tem uma emissividade de 0,3 e o coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural pode ser aproximado por uma expressão na forma h = C T   –   T ∞ D 1 4 , na qual C = 1,25   W / ( m 7 4 · K 5 4 ) .

Passo 1

Letra a)

Calculando a taxa na qual calor é dissipado por unidade de comprimento do fio:

E ˙ g ' = I 2 ⋅ R e l e t '

Com:

I = 20   A ;

R e l e t ' = 0,01   Ω / m .

Temos:

E ˙ g ' = 20 2 ⋅ 0,01

E ˙ g ' = 4   W / m

Passo 2

Calculando a dissipação térmica por unidade de volume no interior do fio:

q ˙ = E ˙ g ' A = E ˙ g ' π D 2 4 = 4 E ˙ g ' π D 2

Sendo:

D = 2   m m = 0,002   m .

Temos:

q ˙ = 4 ⋅ 4 π ⋅ 0,002 2 = 1,27 x 10 6   W / m 3

Passo 3

Letra b)

Sem o isolamento no fio, temos que o balanço de energia na superfície se dá:

q ' = E ˙ g ' = q c o n v ' + q r a d '

E ˙ g ' = π D h T - T ∞ + π D ε σ T 4 - T v i z 4

Sendo:

h = C T   –   T ∞ D 1 4   e   C = 1,25   W / ( m 7 4 · K 5 4 )

h = 1,25 T   –   T ∞ D 1 4

Temos:

E ˙ g ' = 1,25 π D T   –   T ∞ D 1 4 T - T ∞ + π D ε σ T 4 - T v i z 4

E ˙ g ' = 1,25 π D 3 4 T - T ∞ 5 4 + π D ε σ T 4 - T v i z 4

Dados:

ε = 0,3 ;

T ∞ = T v i z = 20 ° C = 293   K ;

σ = 5,67 x 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 .

Temos:

4 = 1,25 π ⋅ 0,002 3 4 ⋅ T - 293 5 4 + π ⋅ 0,002 ⋅ 0,3 ⋅ 5,67 x 10 - 8 ⋅ T 4 - 293 4

4 = 0,0118 ⋅ T - 293 5 4 + 3,402 x 10 - 11 ⋅ T 4 - 293 4

Como auxilio de ferramentas matemáticas, temos que:

T = 331   K = 58 ° C

Resposta

E ˙ g ' = 4   W / m

q ˙ = 4 ⋅ 4 π ⋅ 0,002 2 = 1,27 x 10 6   W / m 3

T = 331   K = 58 ° C

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