Um pequeno forno é constituído por uma caixa cúbica, de lado L = 0,1 m, como mostrado. O piso da caixa é constituído por um aquecedor que fornece P = 400 W. As paredes restantes perdem calor para a vizinhança fora do forno, fato que mantém suas temperaturas a T3 = 400 K. Um objeto esférico, com diâmetro D = 30 mm, encontra-se posicionado no centro do forno. Algum tempo após a esfera ser posicionada no interior do forno, sua temperatura é de T1 = 420 K. Todas as superfícies têm emissividade igual a 0,4.

  1. Determine os seguintes fatores de forma: F12, F13, F21, F31, F23, F32, F33.
  2. Determine a temperatura do piso e a taxa de transferência de calor líquida por radiação deixando a esfera. A esfera está em condições de regime estacionário?

Passo 1

Shoow de bola galerinhaaa !!

Vamos continuar?

Aqui nós queremos começar achando os fatores de forma, não é?

Nós já achamos dois facilmente, devido a simetria para a esfera (1) o seu fator de forma com relação às seis paredes será:

F 12 = 1 6

F 13 = 5 6

Usando a reciprocidade podemos achar três fatores, vamos começar por F 21 e F 3 1 :

F 21 = A 1 F 12 A 2

F 3 1 = A 1 F 1 3 A 3

Lembrando que:

A 1 = π D 2

A 2 = L 2

A 3 = 5 L 2

Então:

F 21 = π (   0,03   m ) 2 6 0,1   m 2 = 0,0471

F 31 = 5 π ( 0,03   m ) 2 6 × 5 0,1   m 2 = 0,0471

Fazendo o somatório para a superfície 2:

F 21 + F 2 3 = 1

F 23 = 0,953

E agora nós podemos chegar ao terceiro fator forma calculado pela reciprocidade:

F 32 = A 2 F 23 A 3

Substituindo:

F 32 = 0,1   m 2 0,953 5 0,1   m 2 = 0,191

Com mais um somatório para a superfície 3:

F 3 3 = 1 - F 3 1 - F 32 = 0,762

Ihuuuul !!

Vamos só por em uma tabelinha?

E chegamos ao fim da letra (a) !!

Passo 2

Na letra (b) nós queremos achar a temperatura do piso e a taxa de transferência de calor líquida por radiação deixando a esfera, não é? Como o problema nos disse nós temos duas superfícies, certo?

Para a taxa de radiação liquida transferida em uma superfície podemos usar a seguinte relação:

q i = E b i - J i 1 - ε i ε i A i = ∑ j = 1 3 J i - J j 1 A i F i j

Onde E b i é a potência emissiva, J i a radiosidade, A i a área e ε i a emissividade da superfície i.

Vamos dar uma olhada nas equações abertas?

q 1 = E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13

q 2 = E b 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 2 = J 2 - J 1 1 A 2 F 21 + J 2 - J 3 1 A 2 F 23

q 3 = E b 3 - J 3 1 - ε 3 ε 3 A 3 = J 3 - J 1 1 A 3 F 3 1 + J 3 - J 2 1 A 3 F 3 2

Nós já sabemos que:

ε 1 = ε 3 = 0 , 4

Agora o que nós precisamos é achar as radiosidades!

Mas para isso precisamos achar as potências emissivas:

E b 1 = σ T 1 4

E b 3 = σ T 3 4

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4

T 1 = 42 0   K

T 3 = 4 0 0   K

Então:

E b 1 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 420   K 4 = 1764   W m 2

E b 3 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 400   K 4 = 1452   W m 2

Então nós precisamos dos fatores de forma para conseguirmos calcular as radiosidades !!

Passo 3

Agora nós vamos substituir tudo nas equações do Passo 2:

  1764 - J 1 1 - 0,4 0,4 × π 0,03 2 = J 1 - J 2 1 1 6 × π 0,03 2 + J 1 - J 3 1 5 6 × π 0,03 2

400   W = J 2 - J 1 1 0,0471 × 0,1   m 2 + J 2 - J 3 1 0,953 × 0,1   m 2

1452 - J 3 1 - 0,4 0,4 × 5 0 , 1 2 = J 3 - J 1 1 0,0471 × 5 0,1   m 2 + J 3 - J 2 1 0,191 × 5 0,1   m 2

Resolvendo as duas equações simultaneamente:

J 1 = 1,24 × 10 4 W m 2

J 2 = 5,28 × 10 4 W m 2

J 3 = 1,29 × 10 4 W m 2

Para a taxa de transferência de calor nós precisamos somente aplicar a primeira parte da igualdade para a superfície 1:

q 1 = 1764   - 1,24 × 10 4 1 - 0,4 0,4 × π 0,03 2

q 1 = - 20   W

Então nós temos uma transferência liquida para a superfície 1, certo? Se é assim ela não está em estado estacionário !!

Passo 4

Agora nós só precisamos da temperatura da superfície 2, mas como ela está relacionada à potência emissiva vamos começar achando ela, ok?

Para isso vamos usar a relação do Passo 2:

q 2 = E b 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 2

E b 2 = J 2 + q 2 1 - ε 2 ε 2 A 2

Substituindo:

E b 2 = 5,28 × 10 4 + ( 400 ) 1 - 0,4 0,4 0,1 2

E b 2 = 1,128 × 10 5 W m 2

E suando a relação entre a temperatura e a potência emissiva:

E b 2 = σ T 2 4

E substituindo:

1,128 × 10 5 W m 2 = 5,67 × 10 - 8   W m 2 K 4 T 2 4

T 2 = 1188   K

Shooow galerinha !! Finalizamos mais umaa !!

Resposta

  1. T 2 = 1188   K     |       q 1 = - 20   W     |     N ã o   e s t á   n o   e s t a d o   e s t a c i o n á r i o  
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