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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 7

O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido entre placas planas paralelas estacionadas é dado por u = a ( h 2 / 4 - y 2 ) , na qual a é constante, h é o espaçamento entre as placas e y é a distância medida a partir da linha de centro da folga. Desenvolva a razão V / u m a x .

Passo 1

Tá legal, vamos começar o exercício encontrando a velocidade máxima do escoamento, que sabemos que será na sua linha de centro, e então, para encontrar, basta derivar a expressão da velocidade com relação a y e igualar a expressão a zero. Então, temos:

d u d y = 0 → d d y a h 2 4 - y 2 = 0

- 2 a y = 0 → y = 0

Conforme já esperávamos, a velocidade é máxima exatamente na linha de centro. E ela será então:

u 0 = a h 2 4 - 0 2 → u 0 = a h 2 4

Passo 2

Agora vamos encontrar a expressão da velocidade, vamos partir de sua definição:

V = Q A = 1 A ∫ u d A = 1 h ∫ - h 2 h 2 u d y

Substituindo a expressão da velocidade dada no enunciado, temos:

V = 1 h ∫ - h 2 h 2 a h 2 4 - y 2 d y = a h ∫ - h 2 h 2 h 2 4 - y 2 d y

Então, resolvendo a integral, temos:

V = a h h 2 y 4 - y 3 3 - h 2 h 2

Substituindo os limites de integração, temos:

V = a h h 2 4 h 2 - 1 3 h 2 3 - h 2 4 - h 2 - 1 3 - h 2 3

V = a h h 3 8 - h 3 24 - - h 3 8 + h 3 24 = a h 2 h 3 8 - 2 h 3 24

E, finalmente, a velocidade média será:

V = a h 6 h 3 - 2 h 3 24 → V = a h 2 6

Passo 3

E, dessa forma, a relação pedida no enunciado entre a velocidade média e a velocidade máxima será:

V u m a x = a h 2 6 a h 2 4 → V u m a x = 2 3

Resposta

V u m a x = 2 3

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