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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 3.Exercício - Ex. 16

A placa da figura tem uma área de 2   m 2 e espessura desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa formando um diagrama de velocidades bidimensional dado por v = 20 y v m á x ( 1 - 5 y ) . A viscosidade dinâmica do fluido é 10 - 2 N ⋅ s / m 2 e a velocidade máxima é 2   m / s .

  1. Qual é o gradiente de velocidade junto ao solo?
  2. Qual é a força necessária para manter a placa em equilíbrio estático?
  3. Qual é a velocidade média?
  4. Fora do contato da placa, o diagrama de velocidades é considerado linear bidimensional. Qual é a velocidade máxima?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item “a”:

O gradiente de velocidade é dado pela derivada da equação da velocidade:

v = 20 v m á x y - 100 v m á x y 2

A sua derivada é dada por:

d v d y = 20 v m á x - 2 00 v m á x y

Aplicando em y = 0,2   m , temos que:

d v d y = 20 ( 2 ) - 200 ( 2 ) ( 0,2 )

d v d y = - 40   s - 1

Passo 2

Item “b”:

Para y = 0 , temos que o perfil de velocidade é dado por:

d v d y = 20 ( 2 ) - 200 ( 2 ) ( 0 )

d v d y = 40   s - 1

Sabendo o perfil, temos que:

τ = μ d v d y

τ = 10 - 2 40

τ = 0,4   N

A força é dada pelo produto da tensão pela área, logo:

F = τ A

F = 0,4 2

F = 0,8   N

Passo 3

Item “c”:

A equação da velocidade média para um escoamento bidimensional é:

v m = 1 b h ∫ v d A

Resolvendo, temos que:

v m = 1 b h ∫ 0 0,2 20 v m á x y - 100 v m á x y 2 d y

v m = 200 0,2 2 2 - 5 0,2 3 3

v m = 1,33   m / s

Passo 4

Item “d”:

Pela equação da continuidade, como a vazão de entrada é igual a de saída e as áreas das seções são iguais, temos que:

v m á x = 2 v m

Portanto:

v m á x = 2 1,33

v m á x = 2,66   m / s

Resposta

a ) d v d y = - 40   s - 1

b ) F = 0,8   N

c ) v m = 1,33   m / s

d )   v m á x = 2,66   m / s

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