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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 40

Uma placa plana delgada é instalada em um túnel de água como uma divisora de fluxo. A placa tem 0,3   m de comprimento e 1   m de largura. A velocidade de corrente livre é 1,6   m / s . Camadas limite laminares formam-se sobre ambos os lados da placa. O perfil de velocidade da camada limite é aproximado como parabólico. Determine a força total de arrasto viscoso sobre a placa considerando que o arrasto de pressão é desprezível.

Passo 1

A gente precisa achar uma expressão para a força de arrasto ( F D ).

Vamos lembrar da equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U   d U d x

Só que do enunciado a gente tira que trabalhamos com uma placa plana, podemos então dizer que ∂ p ∂ x = 0 e U = c o n s t a n t e .

Assumindo que o fluído é imcompressível e o regime é permanente, nossa equação integral fica assim:

τ w ρ = d U 2 θ d x

Onde:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

Outras informações importantes:

Comprimento da placa: L = 0,3   m

Largura da placa: b = 1   m

Velocidade de corrente livre: U = 1,6   m / s

Ele também diz que o perfil de velocidade é parabólico, ou seja, segue essa equação:

u U = 2 y δ - y δ 2

Passo 2

A força de arrasto total sobre um lado da placa tem essa carinha:

F D = ∫ τ w d A

Como enunciado diz que há camadas limites dos dois lados da placa, a força total vai ser:

F D = 2 ∫ τ w d A

Da nossa equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x ∴ τ w = ρ d U 2 θ d x

Como b é a largura da placa, podemos reescrever:

d A = b d x

Como o comprimento da nossa é L , nossa integral fica assim:

F D = 2 ∫ 0 L ρ d U 2 θ d x b d x = 2 ρ U 2 b ∫ 0 θ L d θ = 2 ρ U 2 b ∫ 0 θ L d θ = 2 ρ U 2 b θ L

(A gente saiu de d x , onde 0 < x < L , e foi para d θ , que varia de O até a espessura da quantidade de movimento)

Passo 3

Vamos calcular quem é θ L :

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

Lembrando que o nosso perfil é parabólico, então:

u U = 2 y δ - y δ 2

É só a gente substituir uma equação na outra e integrar:

θ L = ∫ 0 δ 2 y δ - y 2 δ 2 1 - 2 y δ + y 2 δ 2 d y = ∫ 0 δ 2 y δ - 4 y 2 δ 2 + 2 y 3 δ 3 - y 2 δ 2 + 2 y 3 δ 3 - y 4 δ 4 d y

θ L = y 2 δ - 4 3 y 3 δ 2 + y 4 2 δ 3 - y 3 3 δ 2 + y 4 2 δ 3 - y 5 5 δ 4 δ 0

θ L = δ - 4 δ 3 + δ 2 - δ 3 + δ 2 - δ 5 = 2 15 δ

Logo:

θ L = 2 15 δ

Uhul! Conseguimos!

Passo 4

Para calcular o valor de θ L , só precisamos jogar os dados do problema na expressão de δ L :

δ L = 5,48 L ν U

Considerando a vicosidade cinemática da água como ν = 1,01 ⋅ 10 - 6 m 2 / s a temperatura de 20 ° C :

δ = 0,0024 m

Achando θ L :

θ L = 2 15 δ ∴ θ L = 2 15 ⋅ 0,0024 = 0,00032 m

Passo 5

Com isso a gente consegue um valor para o arrasto total:

F D = 2 ρ U 2 b θ L

F D = 2 ⋅ 998 ⋅ 1,6 2 ⋅ 1 ⋅ 0,00032 = 1,635   N

Resposta

F D = 1,635   N

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