Enunciado

Uma placa vertical tem um orifício de bordas vivas no seu centro. Um jato de água com velocidade V atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa requerida para manter a placa no lugar, se o jato que sai do orifício também tem velocidade V . Avalie a força para V = 4,6   m / s , D = 100   m m e d = 25   m m . Trace um gráfico da força requerida v e r s u s a razão de diâmetros para uma faixa adequada do diâmetro d .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há força de campo atuando, então, F B x = 0 :

F S x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x = R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

R x = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo F S x = T , temos:

R x = u 1 - ρ V A 1 + u 2 ρ V A 2 + u 3 ( ρ V A 3 )

u 1 = V ;

u 2 = V ;

u 3 = 0 ;

A 1 = π D 2 4 ;

A 2 = π d 2 4 .

Então:

R x = - V 2 ρ π D 2 4 + V 2 ρ π d 2 4

R x = V 2 ρ π 4 ⋅ d 2 - D 2 = V 2 ρ π 4 ⋅ D 2 ⋅ 1 - d 2 D 2

Passo 4

Avalie a força para V = 4,6   m / s , D = 100   m m e d = 25   m m .

Sendo:

ρ = 1000   k g / m 3 .

Temos:

R x = 4,6 2 ⋅ 1000 ⋅ π 4 ⋅ 0,1 2 ⋅ 1 - 0,025 2 0,1 2 = 156   N

Passo 5

Traçando um gráfico da força requerida v e r s u s a razão de diâmetros para uma faixa adequada do diâmetro d .

Resposta

R x = V 2 ρ π 4 ⋅ D 2 ⋅ 1 - d 2 D 2

R x = 156   N

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