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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 28

A potência (N), necessária para o acionamento de um barco, é função de ρ , v , g , L = comprimento da linha d’água e A f r = área frontal submersa. O barco deve se deslocar com uma velocidade de 36 km/h.

a) Determinar os adimensionais necessários ao estudo da semelhança com um modelo na escala 1/100.

b) Qual deve ser a velocidade de ensaio do modelo em água, para conseguir semelhança completa?

c) Qual é a potência necessária em kW para deslocar o barco na velocidade dada, se no laboratório mediu-se uma força no modelo de 0,75 N?

Passo 1

O enunciado nos disse que a potência é função de:

N = f ρ , v , g , L , A f r

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, será:

f ρ , v , g , L , A f r , N = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; L = L ; A f r = L 2 ; N = M L 2 T - 3 ; g = L T - 2

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 6   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 6 - 3 → m = 3   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 N

π 2 = ρ β 1 v β 2 L β 3 A f r

π 3 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 v α 2 L α 3 N = M L - 3 α 1 L T - 1 α 2 L α 3 M L 2 T - 3

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 3 = 0 → α 2 = - 3

- 3 α 1 + α 2 + α 3 + 2 = 0 → - 3 - 1 + - 3 + α 3 + 2 = 0 → α 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 3 L - 2 N → π 1 = N ρ v 3 L 2

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ β 1 v β 2 L β 3 A f r = M L - 3 β 1 L T - 1 β 2 L β 3 L 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

β 1 + 0 = 0 → β 1 = 0

- β 2 + 0 = 0 → β 2 = 0

- 3 β 1 + β 2 + β 3 + 2 = 0 → - 3 0 + 0 + β 3 + 2 = 0 → β 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ 0 v 0 L - 2 A f r → π 2 = A f r L 2

Agora vamos encontrar π 3 :

π 3 = ρ δ 1 v δ 2 L δ 3 g = M L - 3 δ 1 L T - 1 δ 2 L δ 3 L T - 2

Então, para que π 3 seja adimensional, temos:

δ 1 + 0 = 0 → δ 1 = 0

- δ 2 - 2 = 0 → δ 2 = - 2

- 3 δ 1 + δ 2 + δ 3 + 1 = 0 → - 3 0 + - 2 + δ 3 + 1 = 0 → δ 3 = 1

Dessa forma, temos então:

π 3 = ρ 0 v - 2 L 1 g → π 3 = L g v 2

Passo 3

Para conseguir semelhança completa entre protótipo e modelo, os adimensionais devem ser iguais, então, começando a análise por π 3 :

π 3 m = π 3 p → = L m g v m 2 = L p g v p 2

Substituindo os valores conhecidos:

L m g v m 2 = 100 L m g 36 2 → v m = 3,6   k m / h

Passo 4

Antes de analisar o adimensional π 1 , precisamos encontrar a potência referente ao modelo, sabemos que a potência pode ser calculada por:

N m = v m F m = 3,6 3,6 0,75 → N m = 0,75   W

Agora vamos analisar π 1 :

π 1 m = π 1 p → N m ρ m v m 3 L m 2 = N p ρ p v p 3 L p 2

Substituindo os valores conhecidos:

0,75 ρ 3,6 3 L m 2 = N p ρ 36 3 100 L m 2 → N p = 7,5.10 6   W → N p = 7,5.10 6   k W

Resposta

π 1 = N ρ v 3 L 2 ;   π 2 = A f r L 2 ;   π 3 = L g v 2

v m = 3,6   k m / h

N p = 7,5.10 6   k W

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