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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 14.Problemas - Ex. 48

A presença de CO2 em solução é essencial para o crescimento de plantas aquáticas, com o CO2 sendo usado como um reagente na fotossíntese. Considere um corpo de água estagnada no qual a concentração de CO2 ( ρ A ) é nula em qualquer lugar. No tempo t = 0, a água é exposta a uma fonte de CO2, que mantém a concentração na superfície (x = 0) em um valor fixo ρ A , 0 .

Para t > 0, começa o acúmulo de CO2 na água, mas esse acúmulo é inibido pelo consumo de CO2 devido à fotossíntese. A taxa na qual esse consumo ocorre por unidade de volume é igual ao produto entre uma constante da taxa de reação k 1 e a concentração local do CO2 ρ p x , t .

  1. Escreva (não deduza) uma equação diferencial que pode ser usada para determinar ρ p x , t na água. O que cada parcela da equação representa fisicamente?
  1. Escreva condições de contorno apropriadas que possam ser usadas para obter uma solução particular, supondo um corpo de água “profundo”. Qual seria a forma desta solução para o caso particular de consumo de CO2 desprezível ( k 1 =   0 ) ?

Passo 1

Shoow de bolinhas galeraa ?! Vamos continuar?

Bom, o problema nos pediu na letra (a) para escrever uma equação diferencial que pode ser usada para determinar ρ p x , t na água, ok?

Supondo que a difusão ocorra na direção x e as propriedades do CO2 sejam constantes, nós podemos usar a equação:

D A B . ∂ 2 ρ p ∂ x 2 - k 1 ρ p = ∂ ρ p ∂ t

Aqui o termo D A B . ∂ 2 ρ p ∂ x 2 representa o transporte líquido de CO2 no processo de difusão em um volume de controle, k 1 ρ p representa a taxa de consumo de CO2 devido as reações químicas apresentadas no problema, e o termo ∂ ρ p ∂ t a sua variação ao longo do tempo !

E assim nós finalizamos a letra (a) !!

Passo 2

Na letra (b), se k 1 = 0 nossa equação diferencial ficará assim:

D A B . ∂ 2 ρ p ∂ x 2 = ∂ ρ p ∂ t

Se é assim, nó temos um problema análogo à transferência de calor em um meio semi – infinito com temperatura de superfície constante:

T x , t - T s T i - T s = erf ⁡ x 2 α t

Onde t é o tempo necessário para atingir T x , t a uma certa distância x , T s a temperatura na superfície, T i a temperatura inicial e α a difusividade térmica do aço.

Adaptando essa relação para a transferência de massa:

ρ p x , t - ρ p , 0 ρ p , i - ρ p , 0 = erf ⁡ x 2 D A B t

Considerando águas profundas, as condições de contorno podem ser:

ρ p , 0 = ρ p 0 , t

ρ p ∞ , t = 0

Como não temos dióxido de carbono inicialmente:

ρ p , i = 0

Portanto:

- ρ p x , t ρ p , 0 + 1 = erf ⁡ x 2 D A B t

ρ p x , t ρ p , 0 = 1 - erf ⁡ x 2 D A B t

ρ p x , t = ρ p , 0 erf c ⁡ x 2 D A B t

E aí, o que acharam desta?

Resposta

  1. D A B . ∂ 2 ρ p ∂ x 2 - k 1 ρ p = ∂ ρ p ∂ t
  2. ρ p x , t = ρ p , 0 erfc ⁡ x 2 D A B t
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