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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 56

A refletividade do alumínio revestido com sulfato de chumbo é 0,35 para uma radiação com comprimentos de onda inferiores a 3 μ m e 0,95 para uma radiação superior a 3 μ m. Determine a refletividade média dessa superfície para a radiação solar ( T ≈ 5.800 K) e a radiação proveniente das superfícies na temperatura ambiente ( T ≈ 300 K). Além disso, determine a emissividade e a absortividade dessa superfície em ambas as temperaturas. Você acha que esse material é adequado para utilização em coletores solares?

Passo 1

Sabemos que nossa superfície é feita de alumínio revestido com sulfato de chumbo com um perfil de refletividade de

ρ λ = ρ 1 = 0,3 5 ,           0 ≤ λ < 3   μ m ρ 2 = 0 , 95 ,         3   μ m ≤ λ < ∞

Devemos determinar a refletividade média da superfície para as temperaturas de 5.800 K e 300 K. Após isso, calcular a respectiva emissividade e absortividade para cada temperatura e, usar estes dados para definir se o material é adequado para utilizar em coletores solares. Vamos lá???

Passo 2

Vamos começar calculando a refletividade média a 5.800 K. A refletividade média pode ser calculada por:

ρ T = ∫ 0 ∞ ρ λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = ∫ 0 3   μ m ρ λ λ , T E b λ λ , T d λ + ∫ 3   μ m ∞ ρ λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = ∫ 0 3   μ m 0,3 5 x E b λ λ , T d λ + ∫ 3   μ m ∞ 0 , 95 x E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = 0,3 5 x ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ + 0,95 x ∫ 3   μ m ∞ E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = 0,3 5 x ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ + 0 , 95 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

Podemos aproximar ∫ 0 λ E λ , b d λ utilizando a função de radiação f λ :

∫ 0 λ E λ , b d λ = σ T 4 f λ

Vamos usar isso para continuar nosso cálculo da refletividade média:

ρ T = 0,35 x ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ + 0,95 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

ρ T = 0,3 5 x σ T 4 x f 0 - 3   μ m + 0 , 95 x σ T 4 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 3   μ m ) σ T 4

ρ T = 0,3 5 x f 0 - 3   μ m + 0 , 95 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 3   μ m )

Pela tabela 12-2 do capítulo do livro temos que para:

∞ x T → f = 1

3   μ m   x   5 . 8 00   K = 17 . 4 00   μ m . K → f = 0 , 978746

Então, nossa refletividade é:

ρ T = 0,3 5 x 0 , 978746 + 0 , 95 x ( 1 - 0 , 978746 )

ρ ( 5.800   K ) = 0 , 363

Agora, vamos determinar a absortividade do material. Para qualquer corpo:

α + ρ + τ = 1

Considerando que a superfície é opaca → τ = 0 . Portanto:

α + ρ + 0 = 1

α = 1 - ρ

α = 1 - 0 , 36 3

α ( 5.800   K ) = 0 , 63 7

Por último, vamos determinar a emissividade para a temperatura de 5.800 K. Para isso vamos usar a lei de Kirchhoff. Esta lei diz que para uma mesma temperatura:

ε = α

Então

ε 5.800   K = α 5.800   K = 0,637

Passo 3

Agora, seguindo o mesmo raciocínio iremos determinar as propriedades em a 300 K. A refletividade média pode ser calculada por:

ρ T = ∫ 0 ∞ ρ λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = ∫ 0 3   μ m ρ λ λ , T E b λ λ , T d λ + ∫ 3   μ m ∞ ρ λ λ , T E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = ∫ 0 3   μ m 0,35 x E b λ λ , T d λ + ∫ 3   μ m ∞ 0,95 x E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = 0,35 x ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ + 0,95 x ∫ 3   μ m ∞ E b λ λ , T d λ σ T 4

ρ T = 0,35 x ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ + 0,95 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

Podemos aproximar ∫ 0 λ E λ , b d λ utilizando a função de radiação f λ :

∫ 0 λ E λ , b d λ = σ T 4 f λ

Vamos usar isso para continuar nosso cálculo da refletividade média:

ρ T = 0,35 x ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ + 0,95 x ( ∫ 0 ∞ E b λ λ , T d λ - ∫ 0 3   μ m E b λ λ , T d λ ) σ T 4

ρ T = 0,35 x σ T 4 x f 0 - 3   μ m + 0,95 x σ T 4 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 3   μ m ) σ T 4

ρ T = 0,35 x f 0 - 3   μ m + 0,95 x ( f 0 - ∞ - f 0 - 3   μ m )

Pela tabela 12-2 do capítulo do livro temos que para:

∞ x T → f = 1

3   μ m   x   3 00   K = 9 00   μ m . K → f = 0 , 000169

Então, nossa refletividade é:

ρ T = 0,35 x 0 , 000169 + 0,95 x ( 1 - 0 , 000169 )

ρ ( 3 00   K ) = 0 , 95

Agora, vamos determinar a absortividade do material a 300 K. Para qualquer corpo:

α + ρ + τ = 1

Considerando que a superfície é opaca → τ = 0 . Portanto:

α + ρ + 0 = 1

α = 1 - ρ

α = 1 - 0 , 95

α ( 3 00   K ) = 0 , 05

Por último, vamos determinar a emissividade para a temperatura de 300 K. Para isso vamos usar novamente a lei de Kirchhoff:

ε = α

Então

ε 3 00   K = α 3 00   K = 0,05

Resposta

Para ser um bom material para aplicar em coletores solares a superfície deve ter boa absortividade para a radiação solar ( T = 5.800   K ) e baixa emissividade a temperatura ambiente ( T = 300   K ). Pelos nossos resultados verificamos que a superfície absorve 63,7 % ( α ( 5.800   K ) = 0,637 ) e emite pouca radiação ( ε = 0,05 ), então o material seria uma alternativa para aplicar em coletores solares.

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