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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 5

A vazão Q de um líquido ideal que escoa para a atmosfera através de um orifício de bordo delgado, praticado na parede lateral de um reservatório, é função do diâmetro D do orifício, da massa específica ρ do fluido e da diferença de pressão entre a superfície livre e o centro do orifício. Determinar a expressão para a vazão.

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, estamos analisando a vazão, sabemos que a vazão é função de:

Q = f ρ , D , p

Então, a função representativa será

f ρ , D , p , Q = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; Q = L 3 T - 1 ; D = L ; p = M L - 1 T - 2

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 4   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 4 - 3 → m = 1   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Como temos m = 1 , então o grupo dimensional será uma constante C .

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 p α 2 D α 3 Q

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 p α 2 D α 3 Q = M L - 3 α 1 M L - 1 T - 2 α 2 L α 3 L 3 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

- 2 α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1 2

α 1 + α 2 = 0 → α 1 = - α 2 → α 1 = 1 2

- 3 α 1 - α 2 + α 3 + 3 = 0 → - 3 1 2 + 1 2 + α 3 + 3 = 0 → α 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ 1 2 p - 1 2 D - 2 Q → π 1 = ρ 1 2 Q p 1 2 D 2 = C → Q = C D 2 p ρ

Resposta

Q = C D 2 p ρ

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