Enunciado

Seja o sistema para resfriamento de turbina a gás mostrado no Exemplo 4.3. No Problema 3.23 são descritas vantagens associadas à aplicação de um revestimento de barreira térmica (RBT) sobre a superfície exterior da pá da turbina. Se um revestimento de zircônia com 0,5 mm de espessura ( k   =   1,3 W m K ,   R ' ' t , c =   10 – 4 m 2 K W ) for aplicado sobre a superfície externa da pá resfriada com ar, determine o campo de temperaturas na pá para as condições operacionais do Exemplo 4.3.

Passo 1

Boom galerinha, vamos começar?

Vamos começar desenhando o que está acontecendo neste problema, no desenho do Exemplo 4.3 que nós vimos acima:

Nós precisamos das temperaturas, então vamos começar com os nós c, ok?

Nestes casos nós temos uma expressão do tipo:

h e ∆ x T ∞ , e - T X c + k c ∆ y c 2 ∆ x   T X - 1 c - T X c + k c ∆ y c 2 ∆ x   T X + 1 c - T X c + k c ∆ x ∆ y c   T X o - T X c = 0

Sabendo que:

∆ x = 2 ∆ y c

T ∞ , e = 1700   K

h e = 1000 W m 2 K

T ∞ , i = 400   K

h i = 200 W m 2 K

k c   =   1,3 W m K

Substituindo:

1000 W m 2 K 0,001   m T ∞ , e - T X c + 1,3 W m K 4   T X - 1 c - T X c + 1,3 W m K 4   T X + 1 c - T X c + 2 1,3 W m K   T X o - T X c = 0

1700 + 0,325 T X - 1 c + 0,325 T X + 1 c + 2,6 T X o = 4,25 T X c

Para 1c:

1700 + 0,65 T 2 c + 2,6 T 1 o = 4,25 T 1 c

Para 2c:

1700 + 0,325 T 1 c + 0,325 T 3 c + 2,6 T 2 o = 4,25 T 3 c

Para 3c:

1700 + 0,325 T 2 c + 0,325 T 4 c + 2,6 T 3 o = 4,25 T 3 c

Para 4c:

1700 + 0,325 T 3 c + 0,325 T 5 c + 2,6 T 4 o = 4,25 T 4 c

Para 5c:

1700 + 0,325 T 4 c + 0,325 T 6 c + 2,6 T 5 o = 4,25 T 5 c

Para 6c:

1700 + 0,65 T 5 c + 2,6 T 6 o = 4,25 T 6 c

Agora nós precisamos das temperaturas nos nós o, ok?

Nestes casos nós temos uma expressão do tipo:

k c ∆ y c 2 ∆ x   T X - 1 o - T X o + k c ∆ y c 2 ∆ x   T X + 1 o - T X o + k c ∆ x ∆ y c   T X c - T X o + ∆ x R ' ' t , c T X i - T X o = 0

Substituindo:

1,3 W m K 4   T X - 1 o - T X o + 1,3 W m K 4   T X + 1 o - T X o + 2 1,3 W m K   T X c - T X o + 10 T X i - T X o = 0

0,325 T X - 1 o + 0,325 T X + 1 o + 2,6 T X c + 10 T X i - 13,25 T X o = 0

Para 1o:

0,65 T 2 o + 2,6 T 1 c + 10 T 1 i - 13,25 T 1 o = 0

Para 2o:

0,325 T 1 o + 0,325 T 3 o + 2,6 T 2 c + 10 T 2 i - 13,25 T 2 o = 0

Para 3o:

0,325 T 2 o + 0,325 T 4 o + 2,6 T 3 c + 10 T 3 i - 13,25 T 3 o = 0

Para 4o:

0,325 T 3 o + 0,325 T 5 o + 2,6 T 4 c + 10 T 4 i - 13,25 T 4 o = 0

Para 5o:

0,325 T 4 o + 0,325 T 6 o + 2,6 T 5 c + 10 T 5 i - 13,25 T 5 o = 0

Para 6o:

0,65 T 5 o + 2,6 T 6 c + 10 T 6 i - 13,25 T 6 o = 0

Passo 2

Agora nós precisamos das temperaturas nos nós I, ok?

Nestes casos nós temos uma expressão do tipo:

k ∆ y 2 ∆ x   T X - 1 i - T X i + k ∆ y 2 ∆ x   T X + 1 i - T X i + k ∆ x ∆ y   T X + 6 - T X i + ∆ x R ' ' t , c T X o - T X i = 0

Sabendo que:

k = 25 W m K

∆ x = ∆ y

Substituindo:

25 W m K 2 T X - 1 i - T X i + 25 W m K 2   T X + 1 i - T X i + 25 W m K   T X + 6 - T X i + 10 T X o - T X i = 0

12,5 T X - 1 i + 12,5 T X + 1 i + 25 T X + 6 + 10 T X o - 60 T X i = 0

Para 1i:

25 T 2 i + 25 T 7 + 10 T 1 o - 60 T 1 i = 0

Para 2i:

12,5 T 1 i + 12,5 T 3 i + 25 T 8 + 10 T 2 o - 60 T 2 i = 0

Para 3i:

12,5 T 2 i + 12,5 T 4 i + 25 T 9 + 10 T 3 o - 60 T 3 i = 0

Para 4i:

12,5 T 3 i + 12,5 T 5 i + 25 T 10 + 10 T 4 o - 60 T 4 i = 0

Para 5i:

12,5 T 4 i + 12,5 T 6 i + 25 T 11 + 10 T 5 o - 60 T 5 i = 0

Para 6o:

25 T 5 i + 25 T 12 + 10 T 6 o - 60 T 6 i = 0

Os demais pontos nós podemos usar as equações dadas no Exemplo 4.3. Para os pontos internos:

4 T 7 = 2 T 8 + T 1 i + T 13

4 T 8 = T 2 i + T 7 + T 9 + T 14

4 T 9 = T 3 i + T 8 + T 10 + T 15

4 T 10 = T 4 i + T 9 + T 11 + T 16

4 T 11 = T 5 i + T 10 + T 12 + T 17

4 T 12 = T 6 i + 2 T 11 + T 18

4 T 13 = T 7 + 2 T 14 + T 19

4 T 14 = T 8 + T 13 + T 15 + T 20

4 T 19 = 2 T 20 + 2 T 13

4 T 20 = T 19 + 2 T 14 + T 21

Para o Ponto 15, um vértice interno:

2 T 9 + 2 T 14 + T 16 + T 21 - 2 3 + h i ∆ x k T 15 + 2 h i ∆ x k T ∞ , i = 0

Colocando nossos valores nos termos:

h i ∆ x k = 200 W m 2 K 0,001   m 25 W m K = 0,008

Então:

2 T 9 + 2 T 14 + T 16 + T 21 - 6,016 T 15 + 6,4

Para o Ponto 16 e 17, na superfície plana com convecção:

2 T 10 + T 15 + T 17 - 2 2 + h i ∆ x k T 16 + 2 h i ∆ x k T ∞ , i = 0

2 T 10 + T 15 + T 17 - 4,016 T 16 + 6,4 = 0

2 T 11 + T 16 + T 18 - 4,016 T 17 + 6,4 = 0

Para o Ponto 18 e 21:

T 12 + T 17 - 2 1 + h i ∆ x k T 18 + 2 h i ∆ x k T ∞ , i = 0

T 12 + T 17 - 2,016 T 18 + 6,4 = 0

T 15 + T 20 - 2,016 T 21 + 6,4 = 0

Quando resolvemos as equações simultâneas:

E o que seria de nós sem softwares?!

Nem seeei !!

E ficamos por aqui galerinhaa !!

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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